חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
יעל י (שיחה | תרומות)
קט
אין תקציר עריכה
שורה 6: שורה 6:
קל לראות, על פי ההגדרה, ש- <math>\ M </math> אינו יחיד (כי: יהא <math>\ M </math> מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ-<math>\ M </math> יקיים את התנאי אף הוא).
קל לראות, על פי ההגדרה, ש- <math>\ M </math> אינו יחיד (כי: יהא <math>\ M </math> מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ-<math>\ M </math> יקיים את התנאי אף הוא).
כל <math>\ M </math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעיל'' (''upper bound'').</br>
כל <math>\ M </math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלעיל'' (''upper bound'').</br>
<u>הגדרה</u>: תהא <math>\ A\subset\mathbb{R} </math>. נגיד שהקבוצה <math>\ A </math> ''חסומה מלרע'' אם קיים מספר <math>\ m </math> כך שלכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים: <math>\ x\ge m </math>.
<u>הגדרה</u>: תהא <math>\ A\subset\mathbb{R} </math>. נגיד שהקבוצה <math>\ A </math> ''חסומה מלרע'' (''Bounded below'') אם קיים מספר <math>\ m </math> כך שלכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים: <math>\ x\ge m </math>.
ושוב קל לראות, על פי ההגדרה, ש- <math>\ m </math> אינו יחיד.</br>
ושוב קל לראות, על פי ההגדרה, ש- <math>\ m </math> אינו יחיד.</br>
כל <math>\ m </math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלרע''.</br>
כל <math>\ m </math> המקיים את התנאי הנ"ל נקרא ''חסם מלרע''(lower bound'').</br''>
<u>דוגמאות</u>:</br>
<u>דוגמאות</u>:</br>
1. <math>\ \mathbb{N} = \left\{ 1,2,3,\cdots \right\} </math> חסומה מלרע - כל <math>\ m\le 1 </math> הוא חסם מלרע.
1. <math>\ \mathbb{N} = \left\{ 1,2,3,\cdots \right\} </math> חסומה מלרע - כל <math>\ m\le 1 </math> הוא חסם מלרע.

גרסה מ־19:36, 4 ביולי 2013

חשבון אינפיניטסימלי










הגדרות ודוגמאות

הגדרה: תהא . נגיד שהקבוצה חסומה מלעיל (Bounded above) אם קיים מספר כך שלכל , מתקיים: . כאן, M הינו חסם מלעיל כלשהו לקבוצה A, כלומר הקבוצה A חסומה מלעיל ע"י M.

קל לראות, על פי ההגדרה, ש- אינו יחיד (כי: יהא מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ- יקיים את התנאי אף הוא). כל המקיים את התנאי הנ"ל נקרא חסם מלעיל (upper bound).
הגדרה: תהא . נגיד שהקבוצה חסומה מלרע (Bounded below) אם קיים מספר כך שלכל , מתקיים: . ושוב קל לראות, על פי ההגדרה, ש- אינו יחיד.
כל המקיים את התנאי הנ"ל נקרא חסם מלרע(lower bound).</br> דוגמאות:
1. חסומה מלרע - כל הוא חסם מלרע. לעומת זאת, הקבוצה אינה חסומה מלעיל.
2. :

  • קיים חסם מלעיל בתוך (שהוא, כמובן, המספר ). פרט לכך, קיימים, כמובן, אינסוף חסמי מלעיל נוספים!
  • קיים חסם מלרע , אך הוא אינו בתוך (קיימים, כמובן, נוספים, שגם אף אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצה ).

3. חסומה מלעיל (למשל: ע"י ) ומלרע (למשל: ע"י ).

הגדרה: קבוצה תקרא חסומה אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע.

הגדרה: נתונה , קבוצה החסומה מלעיל ב- . המספר יקרא החסם העליון הקטן ביותר (לפעמים פשוט "החסם העליון") או סופרמום של , אם מתקיים:
1) חסם מלעיל של .
2) אין חסם מלעיל אחר של שקטן ממש מ-. (במילים אחרות, אם חסם מלעיל של אף הוא, אז מתקיים: ).
ניסוח אחר: .
סימון: .
דוגמה: . בשני המקרים, הוא החסם העליון.

נגדיר כעת חסם תחתון גדול ביותר או אינפימום (infimum):
המספר יקרא החסם התחתון הגדול ביותר (לפעמים פשוט "החסם התחתון") או אינפימום של , אם מתקיים:
1) חסם מלרע של .
2) אין חסם מלרע של הגדול מ-.
סימון: .

  • הערה: ניתן להגדיר אינפימום ע"י סופרמום, באופן הבא: , כאשר מגדירים: .

הגדרה:

  1. נתונה קבוצה החסומה מלעיל ע"י , כלומר . אם , אז נגיד ש- הוא המקסימום של , ונכתוב: .
  2. נתונה קבוצה החסומה מלרע ע"י , כלומר . אם , נגיד ש- הוא המינימום של , ונכתוב: .
  • הערה: אם יש ל- מספר סופי של איברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום.

דוגמא חשובה

שאלה: האם לכל קבוצה החסומה מלעיל יש סופרמום?
תשובה: תלוי (ותיכף נראה במה)

  • אם אנחנו נמצאים בתוך , התשובה היא לא.
  • אם אנחנו נמצאים בתוך , התשובה היא כן, תמיד!

דוגמה חשובה מאוד: נתבונן בקבוצה הבאה:
כעת, נשאל לגבי הקבוצה הזו: האם קיים לה סופרמום בתוך ?
טענה: לקבוצה הנ"ל אין סופרמום בתוך
. הוכחה: נניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו באות . כלומר: .
בהכרח (משום ש- , וראינו מקודם ש- ). לכן, קיימות שתי אפשרויות:
א) : לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן, בין ובין יש מספר רציונלי כלשהו, נסמנו .

תמונה להמחשה: גבולות הקבוצה A וחסמיה

כעת: לכל , מתקיים ש- חסם מלעיל אינו סופרמום! (כי יש חסם מלעיל הקטן ממנו) סתירה להנחה ש- . אבל, כבר אמרנו שבהכרח .
ב) : לפי אותו משפט כנ"ל, יש בין לבין מספר רציונלי , ומתקיים: . לכן, (כי: ) אינו חסם עליון כלל! (כי יש איבר בקבוצה שגדול ממנו).
מסקנה: אין לקבוצה הנ"ל סופרמום בתוך , והטענה הוכחה.▪

אקסיומת השלמות

אקסיומת השלמות: לכל קבוצה (לא ריקה) חסומה מלעיל ב- קיים סופרמום.
( לכל קבוצה חסומה מלרע ב- קיים אינפימום).

  • הערה: בהקשר הנוכחי של הדיון, אקסיומה היא תכונה בסיסית שאנו מצפים מקבוצת המספרים הממשיים לקיים. עם זאת, איננו מניחים כהנחת יסוד שהתכונה מתקיימת והיא ניתנת להוכחה בהתבסס על הצורה שבה הוגדרו המספרים הממשיים. יש שתי דרכים לבנית המספרים הממשיים תוך שימוש במספרים הרציונליים ושתיהן מניבות את אותה קבוצה. הדרך האחת משתמשת באובייקטים הנקראים חתכי דדקינד והשנייה מתבססת על מושג שנקרא סדרת קושי. בהמשך הקורס נלמד על סדרות קושי, אך לא ניכנס לשימוש בהן לבניית הממשיים, שדורש בסיס רחב מעט יותר בתורת הקבוצות.

משפט (דוגמה לשימוש באקסיומת השלמות): לכל מספר חיובי ולכל קיים מספר חיובי אחד ויחיד , כך שמתקיים:

שימו לב, שמשפט זה מורכב משתי טענות: טענת הקיום, וטענת היחידות. מעתה ואילך, נרשום טענות מעין אלה באופן הבא: לכל מספר חיובי ולכל קיים ויחיד , כך שמתקיים...
הוכחה:
מאחר ואנו טוענים שתי טענות, נוכיח את שתיהן. לרוב, הוכחת היחידות קלה למדי, והוכחת הקיום היא זו הדורשת עבודה רבה יותר.
הוכחת הקיום:
נתון , ונתון . נגדיר את הקבוצה הבאה: . (מטרתנו היא להראות שהמספר הוא הסופרמום של קבוצה זו, בפרט מכאן ינבע שהוא קיים.)
הקבוצה לא ריקה - למשל, .
הקבוצה חסומה מלעיל - למשל ע"י , לכן מאקסיומת השלמות קיים לה סופרמום. נסמנו .
א) נניח ש- : במקרה זה, כמו בדוגמה שראינו למעלה, ניעזר במשפט שראינו קודם: קיים המקיים: אינו סופרמום (יש בקבוצה איבר שגדול ממנו) אינו קטן מ- , כלומר .
ב) נניח ש : ושוב, כמו בדוגמא למעלה ובהסתמך על משפט הצפיפות, קיים מספר המקיים אינו סופרמום של (כי קיים לקבוצה חסם מלעיל שקטן ממנו) .
א+ב ▪ (לקיום)
(נזכור, כבדרך אגב, ש- גדול ממש מ-, וזאת משום ש- גדול ממש מ-, לכן בין לבין יש מספר).
הוכחת היחידות: יהיו מספרים כנ"ל, כלומר המקיימים: , ונראה ש- :
נניח בלי הגבלת הכלליות (האם אתם זוכרים מהו פירוש "בלי הגבלת הכלליות" ומבינים מדוע ניתן להשתמש כאן בביטוי זה?) ש- . נעלה את הביטוי בריבוע: נזכור ששני האגפים הם חיוביים, לכן סימן אי-השיוויון נשמר. נקבל: .
נכפול כעת את אגף שמאל ב- , ואת אגף ימין ב- . נקבל: .
נחזור על הפעולה פעמים, עד שלבסוף נקבל: . יצאנו מהנחה הפוכה והגענו לסתירה (ר' הערה למטה)

הערה: כמה מילים לגבי שיטות הוכחה:

  • על פניו, הוכחה אמורה להיראות כך: נתון , אנו רוצים להוכיח את , כלומר אנו רוצים להוכיח: , (כאשר p ו- מסמלים משפטים, טענות לוגיות וכולי). איך נעשה זאת?

לכאורה, אין פשוט מכך: נראה ש- נובע מ- (או ש- גורר את ). אבל, בהוכחות כמו ההוכחה האחרונה, הראינו בעצם ששמתקיים: . כלומר: העובדה ש- לא מתקיים גוררת את העובדה שגם אינו מתקיים. ואם הוכחנו את - סיימנו את ההוכחה. ומדוע זאת?
נניח ש- מתקיים (זהו הנתון), ונניח בשלילה ש- לא מתקיים. אבל, לפי הטענה שהוכחה , אם לא מתקיים לא מתקיים - וזוהי סתירה לנתון ש- כן מתקיים! לכן, הוכחת שקולה להוכחת הטענה המקורית.

  • הוכחה בשלילה: כפי שראיתם, השתמשנו בשיטה זו רבות בפרק זה, ואתם תיתקלו בה גם בפרקים הבאים של קורס זה, ולמעשה בכל ענף במתמטיקה. שיטה זו מבוססת על ההנחה, שטענה מסויימת יכולה או להתקיים או שלא להתקיים, ולא יתכן מצב אחר. לכן, אם אנו מניחים שהיא מתקיימת ומגיעים לסתירה, אנו יכולים להסיק שהטענה אינה מתקיימת. זוהי שיטה יעילה מאוד, ואין ספק כי היא תהיה לכם לעזר רב בהמשך.

סיימנו את פרק המבוא. כדי לתרגל, אתם מוזמנים להיכנס לתרגולים על מנת לעכל את החומר טוב יותר. לאחר מכן, תוכלו לנסות לפתור בעצמכם את התרגילים לעבודה עצמית, על מנת לתרגל את החומר.

הנושא הבא בחשבון אינפינטיסימלי: סדרות. זכרו: מומלץ מאוד קודם כל לתרגל את מה שכבר למדתם, ורק לאחר מכן לעבור לנושא הבא!