פיזיקה תיכונית/מבוא לפיזיקה/וקטורים

קטע זה מסביר מהם וקטורים בכלל למי שעדיין לא מכיר. אם הנושא מוכר לכם, אתם יכולים לדלג לפרק הבא.

הגדרת הוקטור

על הארגז בתמונה פועל כוח בגודל של 10 ניוטון (יחידת מידה של כוח) וכיוונו הוא עם כיוון ציר ה-x

בטבע ישנם גורמים מסויימים אשר ניתן לתאר אותם באופן כמותי בלבד כמו טמפרטורה,מסה ונפח. גדלים אלו נקראים סקלרים ואלו גדלים חסרי כיוון.

בניגוד לסקלרים שמבוטאים אך ורק ע"י גודל ישנם גורמים נוספים בפיזיקה אשר כיוון הפעולה שלהם חשוב לנו גם כן, דוגמא לכך היא מהירות [velocity ולא speed]. מהירות היא גורם בעל גודל מסויים וכיוון. לגורמים מסוג זה נקרא וקטורים.

דוגמא: נדמיין אדם רץ במהירות 20 קמ"ש לכיוון מערב.

דוגמא במקרה הזה לווקטור הוא ווקטור המהירות. האדם רץ במהירות של 20 קמ"ש (גודל) וכיוונו הוא מערבה (כיוון)

דוגמא לסקלר במקרה הזה הוא מסת האצן שלה אין כיוון, או נפח הריאות שלו שגם כן אין לו כיוון.

סימון הוקטור

כפי שהגדרנו הוקטור הוא גודל מכוון, לכן בפיזיקה נהוג לשרטט אותו כך:

כך משרטטים וקטור, כיוונו ככיוון החץ (מ-A ל-B), נקודת האחיזה או המוצא היא A וגודלו כאורך החץ, פירוט בהסבר.

הוקטור משורטט כחץ ובשפה המתמטית רושמים ${\vec {a}}$ או ${\vec {AB}}$ (החץ מעל האות/אותיות מדגיש שלא מדובר בגודל "רגיל" - סקלר, אלא בוקטור). חשוב לציין שאורך החץ מסמל את גודל הוקטור (אורך הוקטור גם נקרא הערך המוחלט). אם לדוגמה אורך החץ בתמונה הוא שלושה סנטימטרים וכל סנטימטר בתמונה מייצג שני קמ"ש במציאות, הרי שגודל הוקטור ${\vec {a}}$ הוא 6 קמ"ש: $|{\vec {a}}|=6_{\frac {km}{h}}$ או $\;a=6_{\frac {km}{h}}$ ללא החץ. כיוון הוקטור הוא ככיוון החץ (במקרה של התמונה נוכל לומר מ-A ל-B או כיוון "צפון מזרח, נוטה יותר לכיוון מזרח"- אם נגדיר שלמעלה הוא כיוון צפון. הגדרת הכיוון הזו היא לא מדוייקת ובהמשך נלמד לכמת אותה).

פעולות בין וקטורים

בפרק זה נלמד על הוקטורים במישור המתמטי (עד עכשיו למדנו את ההגדרה וההסבר האיכותי), נלמד כיצד ניתן לעשות פעולות מתמטיות בין מספר וקטורים וכיצד כל הנושא מתקשר לפיזיקה.

שוויון וקטורים

כפי שאמרנו לא די בגודל כדי לתאר וקטור אלא גם בכיוון. נתבונן בשרטוט:

נתונים שני וקטורים, $\;{\vec {a}}$ ו-$\;{\vec {b}}$. אורכו של כל אחד 5 ס"מ.

האם הוקטורים שווים? בתמונה מתקיים $|{\vec {a}}|=|{\vec {b}}|=5_{cm}$ אולם אלו רק הגדלים של הוקטורים ששווים. הכיוונים לא שווים (ניתן לראות זאת בתמונה) ולכן הוקטורים לא שווים: ${\vec {a}}\neq {\vec {b}}$.
אם כך, מתי ניתן לומר על שני וקטורים שהם שווים זה לזה? שני וקטורים שווים זה לזה אם מתקיימים שני תנאים:

• הגדלים שלהם שווים
• יש להם את אותו כיוון. זה קורה אם אחד התנאים הבאים מתקיים:

1. הווקטורים אינם על אותו הישר והם מצביעים לאותו כיוון. מבחינה גיאומטרית, מצביעים לאותו כיוון אומר שאם נחבר את הראשים ואת הזנבות של החיצים שלהם בהתאמה בקטעים נקבל מקבילית
2. הוקטורים נמצאים על אותו ישר והם מצביעים לאותו כיוון על הישר
3. הוקטורים מתלכדים - כלומר הם אותו הווקטור

בתמונה השנייה- שני וקטורים שווים.

הוקטורים בתמונה שווים כי הם צלעות נגדיות של מקבילית, כלומר מקבילים, שווים באורך ומצביעים לאותו כיוון.

חיבור וחיסור וקטורים

חיבור וקטורים

ראשית נגדיר את מושג ההקצאה:

הגדרה: הקצאת וקטור מנקודה הקצאת וקטור מנקודה היא בניית קטע היוצא מנקודת ההקצאה בכיוון הוקטור ובאורכו.

כלל המקבילית

הגדרה: חיבור וקטורים במובן הגיאומטרי (כלל המקבילית) חיבור שני וקטורים $\;{\vec {a}}$ ו $\;{\vec {b}}$ הוא האלכסון היוצא מנקודת המוצא של $\;{\vec {a}}$ של המקבילית הנוצרת מהקצאת $\;{\vec {b}}$ מנקודת הקצה של $\;{\vec {a}}$ ובניית הישרים המקבילים לשניהם.

הגדרה זו נשמעת מעט מסובכת, אך היא תהיה מובנת מיד.

כעת ניתן דוגמא לחיבור של 2 וקטורים לאחר שפירקנו אותם לרכיבים במערכת צירים קרטזית.

חיבור 2 וקטורים

קח נוכל לקבל את ערכי הX ו הY של הוקטור אבל זה לא מספיק כדי לצייר בדיוק את הוקטור השקול על מערכת הצירים כי אין לנו את הזוית ואת הגודל של הוקטור השקול אז מה נעשה? ניקח את ערך הY שקיבלו נגיד aY נחלק אותו ב ערך הX של הוקטור השקול נגיד aX והערך שלקבל הוא הtan של הזוית אבל אנחנו רוצים את הזוית ולא את ה tan שלה אז נלך למחשבון ועל הסכום שקיבלנו נעשה tan-1 (במחשבון מדעי רגיל תוכלו לעשות זאת על ידי לחיצה על מקש shift+tan) וכך קיבלנו את זוית של הוקטור השקול כדי לקבל את הגודל שלו זה מה שנעשה: ניקח את aY ונעלה אותו בחזקת 2+aX בחזקת 2 ונקבל סכום כל שהוא נעשה לסכום הזה שורש ונקבל את גודל הוקטור השקול

בדוגמא הנ"ל היינו יכולים לחבר את הוקטורים ${\vec {A}}$ ו ${\vec {B}}$ באמצעות כלל המקבילית (כלומר העתקה של וקטור אחד במקביל וחיבור) אך כאשר נטפל ביותר מ2 וקטורים אנו נסתבך בשיטה הזאת,לכן אנו תמיד נפרק את הוקטורים לרכיבים על מערכת הצירים וכמעט לעולם לא נעבוד עם כלל המקבילית.