מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 98 סעיף 1

$1-3+5-7+\cdots +(-1{)}^{n+1}(2n-1)=(-1{)}^{n+1}n$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:(-1{)}^{n+1}(2n-1)=(-1{)}^2(2-1)=1\\ & R:)(-1{)}^{n+1}=(-1{)}^2\ast 1=1\\ & 1=1& \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$1-3+5-7+\cdots +(-1{)}^{k+1}(2k-1)=(-1{)}^{k+1}k$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=(-1{)}^{k+1}k}{\underbrace{1-3+5-7+\cdots +(-1{)}^{k+1}(2k-1)}}+(-1{)}^{k+2}(2k+1)=(-1{)}^{k+2}(k+1)\\ & (-1{)}^{k+1}k+(-1{)}^{k+2}(2k+1)=(-1{)}^{k+2}(k+1)\\ & (-1{)}^{k+1}k+(-1)(-1)(2k+1)=(-1{)}^{k+1}(-1)(k+1)\\ & k-2k-1=-k-1\\ & 0=0\end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.