מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 94 סעיף 52

$1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\cdots +\frac{n}{2^{n-1}}=4-\frac{n+2}{2^{n-1}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:\frac{n}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{1-1}}=1\\ & R:4-\frac{n+2}{2^{n-1}}=4-\frac{1+2}{2^{1-1}}=4-3=1\\ & 1=1\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\cdots +\frac{k}{2^{k-1}}=4-\frac{k+2}{2^{k-1}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=4-\frac{k+2}{2^{k-1}}}{\underbrace{1+\frac{2}{2}+\frac{3}{4}+\cdots +\frac{k}{2^{k-1}}}}+\frac{k+1}{2^k}=4-\frac{k+3}{2^k}\\ & 4-\frac{k+2}{2^{k-1}}+\frac{k+1}{2^k}=4-\frac{k+3}{2^k}/\ast \frac{2^k}{-4}\\ & -2(k+2)+9k+1)=-(k+3)\\ & -2k-4+k+1=-k+3\\ & 0=0\\ \end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.