מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 94 סעיף 48

$6+16+42+\cdots +(4\ast 3^{n-1}+2n)=2\ast 3^n+(n-1)(n+2)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:4\ast 3^0+2\ast 1=6\\ & R:2\ast 3(1-1)(1+2)=6\\ & 6=6\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$6+16+42+\cdots +(4\ast 3^{k-1}+2k)=2\ast 3^k+(k-1)(k+2)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=2\ast 3^k+(k-1)(k+2)}{\underbrace{6+16+42+\cdots +(4\ast 3^{k-1}+2k)}}+(4\ast 3^k+2k+2)=2\ast 3^{k+1}+(k)(k+3)\\ & 2\ast 3^k+(k-1)(k+2)+(4\ast 3^k+2k+2)=2\ast 3^{k+1}+(k)(k+3)\\ & 2\ast 3^k+k^2+k-2+4\ast 3^k+2k+2=2\ast 3^{k+1}+k^2+3k\\ & 2\ast 3^k+4\ast 3^k=2\ast 3^{k+1}/:3^k\\ & 2+4=2\ast 3\\ & 6=6\\ \end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.