מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 93 סעיף 41

$8 + 14 + 20 + 26 + \dots + (3 n + 2) = \frac{n}{4} (3 n + 10)$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

$\begin{matrix} L : 3 n + 2 = 3 + 2 = 5 \\ R : \frac{n}{4} (3 n + 10) = \frac{2}{4} (6 + 10) = 8 \\ 8 = 8 \end{matrix}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

$8 + 14 + 20 + 26 + \dots + (3 k + 2) = \frac{k}{4} (3 k + 10)$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{matrix} \underset{= \frac{k}{4} (3 k + 10)}{\underset{⏟}{8 + 14 + 20 + 26 + \dots + (3 k + 2)}} + (3 k + 8) = \frac{k + 2}{4} (3 k + 16) & \frac{k}{4} (3 k + 10) + (3 k + 8) = \frac{k + 2}{4} (3 k + 16) \\ k (3 k + 10) + 4 (3 k + 8) = (k + 2) (3 k + 16) \\ 3 k^{2} + 10 k + 12 k + 32 = 3 k^{2} + 16 k + 6 k + 32 \\ 0 = 0 \end{matrix}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

בדיקה נכונות הטענה עבור n=1

נניח כי הטענה נכונה עבור n=k טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי