מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 93 סעיף 40

$\frac{1}{1\ast 3\ast 5}+\frac{2}{3\ast 5\ast 7}+\cdots +\frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}=\frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:\frac{n}{(2n-1)(2n+1)(2n+3)}=\frac{1}{1\ast 3\ast 5}=\frac{1}{15}\\ & R:\frac{n(n+1)}{2(2n+1)(2n+3)}=\frac{2}{2\ast 3\ast 5}=\frac{1}{15}\\ & \frac{1}{5}=\frac{1}{5}\surd \\ \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{1}{1\ast 3\ast 5}+\frac{2}{3\ast 5\ast 7}+\cdots +\frac{k}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}=\frac{k(k+1)}{2(2k+1)(2k+3)}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=\frac{k(k+1)}{2(2k+1)(2k+3)}}{\underbrace{\frac{1}{1\ast 3\ast 5}+\frac{2}{3\ast 5\ast 7}+\cdots +\frac{k}{(2k-1)(2k+1)(2k+3)}}}+\frac{k+1}{(2k+1)(2k+3)(2k+5)}=\frac{(k+1)(k+2)}{2(2k+3)(2k+5)}\\ & k(k+1)(2k+5)+2(k+1)=(k+1)(k+2)(2k+1)\\ & k(2k+5)+2=(k+2)(2k+1)\\ & 2k^2+5k+2=2k^2+k+4k+2\\ & 0=0\\ \end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.