מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 93 סעיף 36

$\frac{2}{2\ast 4}+\frac{2}{3\ast 5}+\frac{1}{4\ast 6}+\cdots +\frac{2}{(n+1)(n+3)}=\frac{5}{6}-\frac{2n+5}{(n+2)(n+3)}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& L:\frac{2}{(n+1)(n+3}=\frac{2}{2\ast 4}=\frac{1}{4}\\ & R:\frac{5}{6}-\frac{2n+5}{(n+2)(n+3)}=\frac{5}{6}-\frac{2+5}{3/4}=\frac{1}{4}\\ & \frac{1}{4}=\frac{1}{4}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{2}{2\ast 4}+\frac{2}{3\ast 5}+\frac{1}{4\ast 6}+\cdots +\frac{2}{(k+1)(k+3)}=\frac{5}{6}-\frac{2k+5}{(k+2)(k+3)}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \underset{=\frac{5}{6}-\frac{2k+5}{(k+2)(k+3)}}{\underbrace{\frac{2}{2\ast 4}+\frac{2}{3\ast 5}+\frac{1}{4\ast 6}+\cdots +\frac{2}{(k+1)(k+3)}}}+\frac{2}{(k+2)(k+4)}=\frac{5}{6}-\frac{(2k+7)}{(k+3)(k+4)}\\ & \frac{5}{6}-\frac{2k+5}{(k+2)(k+3)}+\frac{2}{(k+2)(k+4)}=\frac{5}{6}-\frac{(2k+7)}{(k+3)(k+4)}\\ & \frac{2k+5}{(k+2)(k+3)}+\frac{2}{(k+2)(k+4)}=-\frac{(2k+7)}{(k+3)(k+4)}\\ & -(k+4)(2k+5)+2k+6=-(k+2)(2k+7)\\ & -(2k^2+5k+8k+20)+2k+6=-(2k^2+7k+4k+14)\\ & -2k^2-13k-20+2k+6=-2k^2-11k-14\\ & -2k^2-11k-14=-2k^2-11k-14\\ & 0=0\end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.