מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 511 סעיף 22

נתונה הפונקציה $f(x)={\frac {x^{2}+ax}{x^{2}-8x+12}}$ לפונקציה יש נקודות קיצון ב-$x=4$.

1. מצא את $\alpha$
2. עבור הערך של $\alpha$ שמצאת בסעיף א' חקור את הפונקציה ומצא : תחום הגדרה וחיתוך עם הצירים, נקודות קיצון, תחומי עלייה וירידה, אסימפטוטות המקבילות לצירים
3. שרטט סקיצה של גרף הפונקציה.
4. $g(x)$ היא פונקציה שמקיימת $g(x)=(f(x))^{2}$. מצא על פי החקירה של $f(x)$ את הנקודות בהן הנגזרת של $g(x)$ מתאפסת.

סעיף א

נבצע גזירה של הפונקציה $f(x)={\frac {x^{2}+ax}{x^{2}-8x+12}}$ על פי נגזרת של פונקצית שבר מורכבת עם פונקצית חזקה (מנת פונקציות)

ונקבל $f(x)={\frac {(2x+a)(x^{2}-8x+12)-(2x-8)(x^{2}+ax)}{(x^{2}-8x+12)^{2}}}$

נשווה לאפס ונציב $x=4$ : $(2*4+a)(4^{2}-8*4+12)-(2*4-8)(4^{2}+4a)=0$

נצמצם $-4(8+a)=0$

נקבל $a=-8$

סעיף ב

נצבע חקירה לפונקציה $f(x)={\frac {x^{2}-8x}{x^{2}-8x+12}}$

תחום הגדרה

$x^{2}-8x+12\neq 0$

$(x-6)(x-2)\neq 0$

$x\neq 2,6$

חיתוך עם ציר ה-$x$

$0={\frac {x^{2}-8x}{x^{2}-8x+12}}$

$x^{2}-8x=0$

$x^{(}x-8)=0$

נקודות החיתוך הם $(0,0),(8,0)$

חיתוך עם ציר ה-$y$

$f(x)={\frac {0^{2}-8*0}{0^{2}-0x+12}}$

$(0,0)$

נקודות קיצון

נגזרת מצאו בתחילת התרגיל, נציב בה את אלפא, $f(x)={\frac {(2x-8)(x^{2}-8x+12)-(2x-8)(x^{2}-8x)}{(x^{2}-8x+12)^{2}}}$

נשווה את הנגזרת לאפס, $(2x-8)(x^{2}-8x+12)-(2x-8)(x^{2}-8x)=0$

נוציא מכנה משותף, $(2x-8)[(x^{2}-8x+12)-(x^{2}-8x)]=0$

נצמצם, $(2x-8)(x^{2}-8x+12-x^{2}+8x)=0$

$(2x-8)(12)=0$

קיימת נקודת קיצון אחת, $x=4$.

נמצא את ערך ה-$y$ של נקודת הקיצון באמצעות הצבת ערך ה-X בפונקציה: $f(x)={\frac {4^{2}-8*4}{4^{2}-8*4+12}}=4$

נקודת הקיצון הינה $(4,4)$

[נקבע את סוג הנקודה בגרף]

תחומי עלייה וירידה

ירידה: $x<2;2<x<4$

עליה: $4<x<6;x>6$

אסימפטוטות X

לאחר שבדקנו כי ערכים בהן הפונקציה אינה עוברת אינו מאפס גם את המונה, ניתן לקבוע כי האסימפטוטות הן $x=6,2$

אסימפטוטה Y

מאחר שבמונה ובמכנה יש חזקות בעלות אותו גודל, האסימפטוטה היא 1.

נבדוק חיתוך עם הפונקציה: $1={\frac {x^{2}-8x}{x^{2}-8x+12}}$

נקבל $x^{2}-8x=x^{2}-8x+12$ אין

גרף

למרות שאנו יודעים כי הפונקציה בצדו השמאלי של הגרף יורדת (מפני שהיא עוברת דרך ראשית הצירים), תמיד טוב לבדוק את ערכי הפונקציה לפני ואחרי נקודות הקיצון והאימפטוטת.

אין

+

0

-

אין

-

נגזרת

7	6	5	4	3	2	1	x

סעיף ד

$g(x)=f(x)^{2}$ נפתח את הפונקציה

$g(x)=f(x)*f(x)$

נעזר במכפלה של שתי פונקציות $g(x)=f(x)*f(x)'-f(x)'*f(x)=2f(x)*f(x)'$

נשווה לאפס כדי למצוא את נקודות החיתוך של $g(x)$: $2f(x)*f(x)'=0$

נחלק בשנים : $f(x)*f(x)'=0$

אנו יודעים את הפתרונות של משוואות אלו. הערכים של הפונקציה השווה לאפס הם $x=8,0$ וערכי הנגזרת השווה לאפס הוא $4$ .

נמצא את ערכי ה-$y$ באמצעות הצבה ב-$g(x)$ ונקבל : $g(4)=16$

$g(0)=0$

$g(8)=0$