מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 17 סעיף 15

תרגיל

שתי ספינות יצאו מאותה נקודה, באותו הזמן ושטו אחת צפונה ואחת מזרחה. כעבור 15 דקות היה מרחק הספינה שיצאה מזרחה ב-2 ק"מ יותר מהספינה שיצאה צפונה מנקודת היציאה. אחרי עוד 15 דקות היה המרחק בין הספינות 20 ק"מ. מצא את מהירת הספינות.

פתרון

סוג שאלה :פיתגורס, הכפלת דרך במהירות זהה.

ציור סכמטי - כיוון שהכפלנו את הזמן פי שנים - נכפיל שתים את הדרך (מותר לנו כיוון שהמהירות לא השתנת)

משפט פיתגורס

משפט פיתגורס

AE=EC ,AD=AB כיוון שהזמן (15 דקות) ומהירות זהים.

${\begin{aligned}&(2x)^{2}+[2(x+2)]^{2}=20^{2}\\&4x^{2}+4x^{2}+16x+16=400\\&8x^{2}+16x-384=0\\&X^{2}+2x-48=0\\&{\frac {-2\pm {\sqrt {4+4*48}}}{2}}\\&{\frac {-2\pm 14}{2}}\\&X_{1}=6,X_{2}=-\\\end{aligned}}$

מציאת מהירות

${\begin{aligned}&V={\frac {S}{t}}\\&V_{1}={\frac {6}{\frac {1}{4}}}=24{\frac {km}{hr}}\\&V_{2}={\frac {6+2}{\frac {1}{4}}}=32{\frac {km}{hr}}\\\end{aligned}}$

ביטוי מרחקים

15 דקות מרחק : $\color {green}DE=d={\sqrt {X^{2}+(x+2)^{2}}}$

30 דקות מרחק : $\color {green}BC=d=20$

ביטוי BD

משפט תאלס

פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.

הוכחת דימיון בין המשולשים - זוית A, צלעות בעלות יחס זהה (פי שתים גודלן)

ביטוי BD ע"י משתנה X

${\begin{aligned}&\triangle ABC\cong \triangle ADE\\&\downarrow \\&{\frac {AD}{AB}}={\frac {DE}{BC}}\\&{\frac {x+2}{AB}}={\frac {\sqrt {2x^{2}+4x+4}}{20}}\\&AB={\frac {20(x+2)}{\sqrt {2x^{2}+4x+4}}}\\\end{aligned}}$

טבלה

	זמן (שעות)	מהירות (קמ"ש)	דרך (ק"מ)
ספינה א' מזרח	${\frac {15}{60}}={\frac {1}{4}}$	$\color {blue}4(x+2)$	X+2
ספינה צפון	${\frac {15}{60}}={\frac {1}{4}}$	$\color {blue}4x$	X
ספינה א' מזרח	${\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}$	$4(X+2)$ מהירות זהה	A$AB=4(x+2)*{\frac {1}{2}}=2(x+2)$
ספינה ב' צפון	${\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}$	4x מהירות זהה	AC

השוואה בין AB

${\begin{aligned}&2(x+2)={\frac {20(x+2)}{\sqrt {2(x^{2}+2x+2)}}}\\&{\sqrt {2(x^{2}+2x+2)}}=10\\&2x+2+4x+4=100\\&2x+2+4x-96=0\\&x^{2}+2x-48=0\\&{\frac {-2\pm {\sqrt {4+4*48}}}{2}}\\&X_{1}=6,X_{2}=-\\\end{aligned}}$

מציאת מהירות

${\begin{aligned}&V_{1}={\frac {x}{\frac {1}{4}}}=4x=24\\&V_{2}={\frac {x+2}{\frac {1}{4}}}=4(x+2)=4*8=32\\\end{aligned}}$