שתי ספינות יצאו מאותה נקודה, באותו הזמן ושטו אחת צפונה ואחת מזרחה. כעבור 15 דקות היה מרחק הספינה שיצאה מזרחה ב-2 ק"מ יותר מהספינה שיצאה צפונה מנקודת היציאה. אחרי עוד 15 דקות היה המרחק בין הספינות 20 ק"מ. מצא את מהירת הספינות.
סוג שאלה : פיתגורס, הכפלת דרך במהירות זהה.
ציור סכמטי - כיוון שהכפלנו את הזמן פי שנים - נכפיל שתים את הדרך (מותר לנו כיוון שהמהירות לא השתנת) משפט פיתגורס [ עריכה ] משפט פיתגורס [ עריכה ] AE=EC ,AD=AB כיוון שהזמן (15 דקות) ומהירות זהים.
(
2
x
)
2
+
[
2
(
x
+
2
)
]
2
=
20
2
4
x
2
+
4
x
2
+
16
x
+
16
=
400
8
x
2
+
16
x
−
384
=
0
X
2
+
2
x
−
48
=
0
−
2
±
4
+
4
∗
48
2
−
2
±
14
2
X
1
=
6
,
X
2
=
−
{\displaystyle {\begin{aligned}&(2x)^{2}+[2(x+2)]^{2}=20^{2}\\&4x^{2}+4x^{2}+16x+16=400\\&8x^{2}+16x-384=0\\&X^{2}+2x-48=0\\&{\frac {-2\pm {\sqrt {4+4*48}}}{2}}\\&{\frac {-2\pm 14}{2}}\\&X_{1}=6,X_{2}=-\\\end{aligned}}}
מציאת מהירות [ עריכה ]
V
=
S
t
V
1
=
6
1
4
=
24
k
m
h
r
V
2
=
6
+
2
1
4
=
32
k
m
h
r
{\displaystyle {\begin{aligned}&V={\frac {S}{t}}\\&V_{1}={\frac {6}{\frac {1}{4}}}=24{\frac {km}{hr}}\\&V_{2}={\frac {6+2}{\frac {1}{4}}}=32{\frac {km}{hr}}\\\end{aligned}}}
דימיון - ארוך יותר... [ עריכה ] ביטוי מרחקים [ עריכה ] 15 דקות מרחק :
D
E
=
d
=
X
2
+
(
x
+
2
)
2
{\displaystyle \color {green}DE=d={\sqrt {X^{2}+(x+2)^{2}}}}
30 דקות מרחק :
B
C
=
d
=
20
{\displaystyle \color {green}BC=d=20}
ביטוי BD ע"י משתנה X [ עריכה ]
△
A
B
C
≅
△
A
D
E
↓
A
D
A
B
=
D
E
B
C
x
+
2
A
B
=
2
x
2
+
4
x
+
4
20
A
B
=
20
(
x
+
2
)
2
x
2
+
4
x
+
4
{\displaystyle {\begin{aligned}&\triangle ABC\cong \triangle ADE\\&\downarrow \\&{\frac {AD}{AB}}={\frac {DE}{BC}}\\&{\frac {x+2}{AB}}={\frac {\sqrt {2x^{2}+4x+4}}{20}}\\&AB={\frac {20(x+2)}{\sqrt {2x^{2}+4x+4}}}\\\end{aligned}}}
זמן (שעות)
מהירות (קמ"ש)
דרך (ק"מ)
ספינה א' מזרח
15
60
=
1
4
{\displaystyle {\frac {15}{60}}={\frac {1}{4}}}
4
(
x
+
2
)
{\displaystyle \color {blue}4(x+2)}
X+2
ספינה צפון
15
60
=
1
4
{\displaystyle {\frac {15}{60}}={\frac {1}{4}}}
4
x
{\displaystyle \color {blue}4x}
X
ספינה א' מזרח
30
60
=
1
2
{\displaystyle {\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}}
4
(
X
+
2
)
{\displaystyle 4(X+2)}
A
A
B
=
4
(
x
+
2
)
∗
1
2
=
2
(
x
+
2
)
{\displaystyle AB=4(x+2)*{\frac {1}{2}}=2(x+2)}
ספינה ב' צפון
30
60
=
1
2
{\displaystyle {\frac {30}{60}}={\frac {1}{2}}}
4x מהירות זהה
AC
השוואה בין AB [ עריכה ]
2
(
x
+
2
)
=
20
(
x
+
2
)
2
(
x
2
+
2
x
+
2
)
2
(
x
2
+
2
x
+
2
)
=
10
2
x
+
2
+
4
x
+
4
=
100
2
x
+
2
+
4
x
−
96
=
0
x
2
+
2
x
−
48
=
0
−
2
±
4
+
4
∗
48
2
X
1
=
6
,
X
2
=
−
{\displaystyle {\begin{aligned}&2(x+2)={\frac {20(x+2)}{\sqrt {2(x^{2}+2x+2)}}}\\&{\sqrt {2(x^{2}+2x+2)}}=10\\&2x+2+4x+4=100\\&2x+2+4x-96=0\\&x^{2}+2x-48=0\\&{\frac {-2\pm {\sqrt {4+4*48}}}{2}}\\&X_{1}=6,X_{2}=-\\\end{aligned}}}
מציאת מהירות [ עריכה ]
V
1
=
x
1
4
=
4
x
=
24
V
2
=
x
+
2
1
4
=
4
(
x
+
2
)
=
4
∗
8
=
32
{\displaystyle {\begin{aligned}&V_{1}={\frac {x}{\frac {1}{4}}}=4x=24\\&V_{2}={\frac {x+2}{\frac {1}{4}}}=4(x+2)=4*8=32\\\end{aligned}}}
![{\displaystyle {\begin{aligned}&(2x)^{2}+[2(x+2)]^{2}=20^{2}\\&4x^{2}+4x^{2}+16x+16=400\\&8x^{2}+16x-384=0\\&X^{2}+2x-48=0\\&{\frac {-2\pm {\sqrt {4+4*48}}}{2}}\\&{\frac {-2\pm 14}{2}}\\&X_{1}=6,X_{2}=-\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/720963b6b5675b6be8f1ef9e9cebe0181fc7d272)
