מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 115 סעיף 32

$\begin{array}{cc}& a_1=10\\ & a_{n+1}=an+7^n+4\ast 2^n\\ & \frac{an}{5}=\mathbb{Z}\end{array}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& \frac{an}{5}=\mathbb{Z}\\ & a_1=10\\ \frac{a_1}{5}=\frac{10}{5}=1\\ & 2=\mathbb{Z}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{a_k}{5}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \frac{a_{k+1}}{5}=\mathbb{Z}\end{array}$

על פי כלל הנסיגה

$\begin{array}{cc}& \frac{a_{k+1}}{5}=\mathbb{Z}\\ & a_{k+1}=\frac{a_k+7^k+4\ast 2^k}{5}\\ & \frac{a_k}{5}+\frac{7^k+4\ast 2^k}{5}\\ & \frac{7^k+4\ast 2^k}{5}=p\end{array}$

בדיקה נכונות הטענה (P) עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& +\frac{7^1+4\ast 2^1}{5}=\mathbb{Z}\\ & \frac{15}{5}=3\\ & 3=\mathbb{Z}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $k=p$ טבעי

$\frac{7^k+4\ast 2^k}{5}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור k=p+1

$\begin{array}{cc}& +\frac{7^{p+1}+4\ast 2^{p+1}}{5}=\mathbb{Z}\\ & \frac{7^p\ast 7+4\ast 2^p\ast 2}{5}=\mathbb{Z}\\ & \frac{7^p\ast (2+5)+4\ast 2^k\ast 2}{5}=\mathbb{Z}\\ & \frac{7^p\ast 2+4\ast 2^p\ast 2}{5}+\frac{7^k\ast 5}{5}=\mathbb{Z}\\ & 2\ast \mathbb{Z}+7^k\\ & \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

1. על פי ההנחה.
2. K מספר טבעי ולכן כל מספר בחזקת מספר טבעי שווה שלם.