מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 115 סעיף 28

$\begin{array}{cc}& a_1=46\\ & a_{n+1}=an+70^n-24^n\\ & \frac{an}{46}=\mathbb{Z}\end{array}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& \frac{an}{46}=\mathbb{Z}\\ & a_1=46\\ \frac{a_1}{46}=\frac{46}{46}=1\\ & 1=\mathbb{Z}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{a_k}{46}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \frac{a_{k+1}}{46}=\mathbb{Z}\end{array}$

על פי כלל הנסיגה

$\begin{array}{cc}& \frac{\underset{a_k+70^k-24^k}{\underbrace{a_{k+1}}}}{46}=\mathbb{Z}\\ & \frac{ak}{46}+\frac{70^k-24^k}{46}\\ & \mathbb{Z}+\frac{70^k-24^k}{46}\\ & \frac{70^k-24^k}{46}=p\end{array}$

בדיקה נכונות הטענה (P) עבור $n1$

$\begin{array}{cc}& \frac{70^k-24^k}{46}=\mathbb{Z}\\ & \frac{70-24}{46}\\ & 1=\mathbb{Z}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $k=p$ טבעי

$\frac{70^p-24^p}{46}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור k=p+1

$\begin{array}{cc}& \frac{70^{p+1}-24^{p+1}}{46}=\mathbb{Z}\\ & \frac{70^p\ast 70-24^p\ast 24}{46}=\mathbb{Z}\\ & \frac{70^p\ast (24+46)-24^p\ast 24}{46}=\mathbb{Z}\\ & \frac{70^p\ast 24-24^p\ast 24}{46}+\frac{46\ast 70^k}{46}=\mathbb{Z}\\ & 24\ast \mathbb{Z}+70^k\\ & \mathbb{Z}+\mathbb{Z}\end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

1. על פי ההנחה.
2. K מספר טבעי ולכן כל מספר בחזקת מספר טבעי שווה שלם.