מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 115 סעיף 28

${\begin{aligned}&a_{1}=46\\&a_{n+1}=an+70^{n}-24^{n}\\&{\frac {an}{46}}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {an}{46}}=\mathbb {Z} \\&a_{1}=46\\{\frac {a_{1}}{46}}={\frac {46}{46}}=1\\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {a_{k}}{46}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {a_{k+1}}{46}}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

על פי כלל הנסיגה

${\begin{aligned}&{\frac {\underbrace {a_{k+1}} _{a_{k}+70^{k}-24^{k}}}{46}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {ak}{46}}+{\frac {70^{k}-24^{k}}{46}}\\&\mathbb {Z} +{\frac {70^{k}-24^{k}}{46}}\\&{\frac {70^{k}-24^{k}}{46}}=p\\\end{aligned}}$

בדיקה נכונות הטענה (P) עבור $\ n1$

${\begin{aligned}&{\frac {70^{k}-24^{k}}{46}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {70-24}{46}}\\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ k=p$ טבעי

${\frac {70^{p}-24^{p}}{46}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור k=p+1

${\begin{aligned}&{\frac {70^{p+1}-24^{p+1}}{46}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {70^{p}*70-24^{p}*24}{46}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {70^{p}*(24+46)-24^{p}*24}{46}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {70^{p}*24-24^{p}*24}{46}}+{\frac {46*70^{k}}{46}}=\mathbb {Z} \\&24*\mathbb {Z} +70^{k}\\&\mathbb {Z} +\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

1. על פי ההנחה.
2. K מספר טבעי ולכן כל מספר בחזקת מספר טבעי שווה שלם.