מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 114 סעיף 21

$\begin{array}{cc}& a_1=1\\ & a_{n+1}=an\ast 8^{n^2+n}\\ & a_n=2^{n^3-n}\end{array}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& a_n=2^{n^3-n}=2^{1^3-1}=1\\ & a_1=1\\ & 1=1\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$a_k=2^{k^3-k}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& a_{k+1}=2^{(k+1{)}^3-k-1}\\ & a_{k+1}=2^{k^3+3k^2+3k+1-k-1}\\ & a_{k+1}=2^{k^3+3k^2+2k}\end{array}$

על פי כלל הנסיגה

$\begin{array}{cc}& a_{k+1}=\underset{2^{k^3-k}}{\underbrace{a_k}}\ast 8^{k^2+k}\\ & a_{k+1}=2^{k^3-k}\ast 8^{k^2+k}\\ & a_{k+1}=2^{k^3-k}\ast 2^{3(k^2+k)}\\ & a_{k+1}=2^{k^3-k+3(k^2+k)}\\ & a_{k+1}=2^{k^3-k+3k^2+3k}\\ & a_{k+1}=2^{k^3+3k^2+2k}\end{array}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.