מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 114 סעיף 21

${\begin{aligned}&a_{1}=1\\&a_{n+1}=an*8^{n^{2}+n}\\&a_{n}=2^{n^{3}-n}\\\end{aligned}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&a_{n}=2^{n^{3}-n}=2^{1^{3}-1}=1\\&a_{1}=1\\&1=1\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$\ a_{k}=2^{k^{3}-k}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&a_{k+1}=2^{(k+1)^{3}-k-1}\\&a_{k+1}=2^{k^{3}+3k^{2}+3k+1-k-1}\\&a_{k+1}=2^{k^{3}+3k^{2}+2k}\\\end{aligned}}$

על פי כלל הנסיגה

${\begin{aligned}&a_{k+1}=\underbrace {a_{k}} _{2^{k^{3}-k}}*8^{k^{2}+k}\\&a_{k+1}=2^{k^{3}-k}*8^{k^{2}+k}\\&a_{k+1}=2^{k^{3}-k}*2^{3(k^{2}+k)}\\&a_{k+1}=2^{k^{3}-k+3(k^{2}+k)}\\&a_{k+1}=2^{k^{3}-k+3k^{2}+3k}\\&a_{k+1}=2^{k^{3}+3k^{2}+2k}\\\end{aligned}}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.