מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 113 סעיף 1

$\begin{matrix} a_{n + 1} = a_{n} + 8 n \\ a_{1} = 1 \\ a_{n} = (2 n - 1)^{2} \end{matrix}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

$\begin{matrix} a_{n} = (2 n - 1)^{2} = (2 - 1)^{2} = 1 \\ a_{1} = 1 \\ 1 = 1 \sqrt \end{matrix}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

$a_{k} = (2 k - 1)^{2}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{matrix} a_{k + 1} = (2 k + 1)^{2} \end{matrix}$

על פי כלל הנסיגה

$\begin{matrix} a_{k + 1} = a_{k} + 8 k \\ a_{k + 1} = \underset{(2 k - 1)^{2}}{\underset{⏟}{a_{k}}} + 8 k \\ a_{k + 1} = (2 k - 1)^{2} + 8 k \\ a_{k + 1} = 4 k^{2} - 4 k + 1 + 8 k \\ a_{k + 1} = 4 k^{2} + 4 k + 1 \\ a_{k + 1} = (2 k + 1)^{2} \end{matrix}$

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

בדיקה נכונות הטענה עבור n=1

נניח כי הטענה נכונה עבור n=k טבעי

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

על פי כלל הנסיגה

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי