מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 109 סעיף 4

$n<\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&n<\left({\frac {3}{2}}\right)^{n}\\&1<\left({\frac {3}{2}}\right)\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$k<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&k+1<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k+1}\\&\downarrow \\&k<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\\&\downarrow \\&\underbrace {k} _{=\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}}+1<{\frac {3^{3}*3}{2}}\\&\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}+1<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}*{\frac {3}{2}}/-\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\\&1<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}*{\frac {3}{2}}-\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\\&1<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}*({\frac {3}{2}}-1)\\&1<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}*{\frac {1}{2}}/*2\\&2<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}\\&0=0\\\end{aligned}}$

הביטוי $2<\left({\frac {3}{2}}\right)^{k}$ נכון עבור כל $\ n$ טבעי החל מ$n\geq 2$. כיוון שבדקנו את הטענה עבור $\ n=1$ ; הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.

הערות : ליד החצים יש לרשום את הערות הצדדיות על פי הסדר הבא :

1. על פי ההנחה.
2. מספיק להוכיח.