מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 107 סעיף 71

Z - מספר שלם. בבדיקה הסימן הוא לא שווה אלא שווה ומעליו סימן שאלה.

${\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+\cdots +7^{4n-1}}{100}}=Z$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {7^{4n-1}}{100}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{4-1}}{100}}\rightarrow {\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+7^{3}}{100}}=\mathbb {Z} \\&4=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+\cdots +7^{4k-1}}{100}}=Z$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+\cdots +7^{4k-1}+7^{4k}+7^{4k+1}+7^{4k+2}+7^{4k+3}}{100}}=\mathbb {Z} \\&\underbrace {\frac {1^{0}+7^{1}+7^{2}+\cdots +7^{4k-1}}{100}} _{=\mathbb {Z} }+{\frac {7^{4k}+7^{4k+1}+7^{4k+2}+7^{4k+3}}{100}}=\mathbb {Z} \\&Z+{\frac {7^{4k}+7^{4k+1}+7^{4k+2}+7^{4k+3}}{100}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{4k}(7^{1}+7^{2}+7^{3})}{100}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {7^{4k}(400)}{100}}=\mathbb {Z} \\&4*7^{4k}=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

$\ 7^{4k}$ שלם עבור K טבעי.
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.