מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 23

$\mathbb{Z}$ - מספר שלם.

$\frac{10^n-3^n}{7}=\mathbb{Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& \frac{10^n-3^n}{7}=\mathbb{Z}\\ & \frac{10-3}{7}=\mathbb{Z}\\ & 1=\mathbb{Z}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{10^k-3^k}{7}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \frac{10^{k+1}-3^{k+1}}{7}=\mathbb{Z}\\ & \frac{10^k\ast 10-3^k\ast 3}{7}=\mathbb{Z}\\ & \frac{10^k\ast (7+3)-3^k\ast 3}{7}=\mathbb{Z}\\ & \frac{10^k\ast 3-3^k\ast 3}{7}+\frac{10^k\ast 7}{7}=\mathbb{Z}\\ & \frac{3(10^k-3^k)}{7}+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\\ & 3\ast \mathbb{Z}+\mathbb{Z}=\mathbb{Z}\end{array}$

1. הטענה הראשונה נכונה כיוון ש-$K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.
2. הטענה השנייה נכונה ע"פ ההנחה.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.