מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 16

$\mathbb{Z}$ - מספר שלם.

$\frac{5\ast 9^n+3}{8}=\mathbb{Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& \frac{5\ast 9^n+3}{8}=\mathbb{Z}\\ & \frac{5\ast 9+3}{8}=\mathbb{Z}\\ & 6=\mathbb{Z}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{5\ast 9^k+3}{8}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \frac{5\ast 9^{k+1}+3}{8}=\mathbb{Z}\\ & \frac{5\ast 9^k\ast 9+3}{8}=\mathbb{Z}\\ & \frac{5\ast 9^k\ast (8+1)+3}{8}=\mathbb{Z}\\ & \frac{5\ast 9^k\ast +3}{8}+\frac{9^k\ast 8}{8}=\mathbb{Z}\\ & \mathbb{Z}+9^k=\mathbb{Z}\end{array}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון ש-$K$ הוא מספר טבעי, כלומר שלם וחיובי.

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.