מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 106 סעיף 15

$\mathbb {Z}$ - מספר שלם.

${\frac {8^{n}+6}{14}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {8^{n}+6}{14}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{1}+6}{14}}=\mathbb {Z} \\&1=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {8^{k}+6}{14}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {8^{k+1}+6}{14}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}*8+6}{14}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}*(1+7)+6}{14}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}+6}{14}}+{\frac {8^{k}*7}{14}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {8^{k}*7}{14}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8^{k}}{2}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} =\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

1. הטענה הראשונה נכונה ע"פ ההנחה.
2. הטענה השנייה נכונה כיוון שכל מספר זוגי בחזקה שווה מספר זוגי (בסיס זוגי בחזקה, הוא כמו תרגיל של מספר זוגי כפול מספר זוגי השווה למספר זוגי) וכן גם מספר זוגי חלקי מספר זוגי שווה מספר שלם.