1 3 − 2 3 + 3 3 − 4 3 + ⋯ + ( 2 n − 1 ) 3 = 4 n 3 − 3 n 2 {\displaystyle 1^{3}-2^{3}+3^{3}-4^{3}+\cdots +(2n-1)^{3}=4n^{3}-3n^{2}}
L : ( 2 n − 1 ) 3 = ( 2 − 1 ) 3 = 1 1 → 1 3 = 1 R : 4 n 3 − 3 n 2 = 4 ∗ 1 3 − 3 ∗ 1 2 = 1 1 = 1 {\displaystyle {\begin{aligned}&L:(2n-1)^{3}=(2-1)^{3}=1^{1}\rightarrow 1^{3}=1\\&R:4n^{3}-3n^{2}=4*1^{3}-3*1^{2}=1\\&1=1\\\end{aligned}}}
1 3 − 2 3 + 3 3 − 4 3 + ⋯ + ( 2 k − 1 ) 3 = 4 k 3 − 3 k 2 {\displaystyle 1^{3}-2^{3}+3^{3}-4^{3}+\cdots +(2k-1)^{3}=4k^{3}-3k^{2}}
1 3 − 2 3 + 3 3 − 4 3 + ⋯ + ( 2 k − 1 ) 3 ⏟ = 4 k 3 − 3 k 2 − ( 2 k ) 3 + ( 2 k + 1 ) 3 = 4 ( k + 1 ) 3 − 3 ( k + 1 ) 2 4 k 3 − 3 k 2 − ( 2 k ) 3 + ( 2 k + 1 ) 3 = 4 ( k + 1 ) 3 − 3 ( k + 1 ) 2 {\displaystyle {\begin{aligned}&\underbrace {1^{3}-2^{3}+3^{3}-4^{3}+\cdots +(2k-1)^{3}} _{=4k^{3}-3k^{2}}-(2k)^{3}+(2k+1)^{3}=4(k+1)^{3}-3(k+1)^{2}\\&4k^{3}-3k^{2}-(2k)^{3}+(2k+1)^{3}=4(k+1)^{3}-3(k+1)^{2}\\\end{aligned}}}
נפתח את הסוגריים על פי נוסחאות כפל מקוצר:
4 k 3 − 3 k 2 − 8 k 3 + 8 k 3 + 12 k 2 + 6 k + 1 = 4 ( k 3 + 3 k 2 + 3 k + 1 ) − 3 ( k 2 + 2 k + 1 ) 4 k 3 + 9 k 2 + 6 k + 1 = 4 k 3 + 12 k 2 + 12 k + 4 − 3 k 2 − 6 k − 3 4 k 3 + 9 k 2 + 6 k + 1 = 4 k 3 + 9 k 2 + 6 k + 1 0 = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}&4k^{3}-3k^{2}-8k^{3}+8k^{3}+12k^{2}+6k+1=4(k^{3}+3k^{2}+3k+1)-3(k^{2}+2k+1)\\&4k^{3}+9k^{2}+6k+1=4k^{3}+12k^{2}+12k+4-3k^{2}-6k-3\\&4k^{3}+9k^{2}+6k+1=4k^{3}+9k^{2}+6k+1\\&0=0\\\end{aligned}}}
הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.
טבעי
