מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ב'-2 שאלון 035806 /עמוד 667 סעיף 4

מנקודה A יוצאים למעגל חותך AC וישר המשיק למעגל בנקודה F.

החותך חותך את המעגל בנקודות E וD.

מהנקודה C יוצא ישר המשיק למעגל בנקודה G שנפגש עם המשך המשיק AF בנקודה B.

נתון AF=CG הוכח:

1. AD=CE
2. משולש ADF חופף למשולש CEG
3. במרובע GFDE יש שתי צלעות שמקבילות זו לזו

סעיף א'

על פי המשפט: אם מנקודה שמחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק.

• AF הוא משיק ו-AE הוא חותך ולכן $AE\cdot AD=AF^{2}$.
• CG הוא משיק ו- CD הוא חותך ולכן $CD\cdot CE=CG^{2}$.

נתון כי $AF=CG$ ולכן נוכל להשוות בין שני המוואות :

$AE\cdot AD=CD\cdot CE$

$AE\cdot AD=(AC-AD)\cdot (AC-AE)$

$AE\cdot AD=AC^{2}-AC\cdot AD-AC\cdot AE+AD\cdot AE$

$AC^{2}-AC\cdot AD-AC\cdot AE=0$

$AC-AD-AE=0$

$(AD+DE+CE)-AD-AE=0$

$DE+CE-AE=0$

$CE=AE-DE$

$CE=AD$

סעיף ב

$AD=CE$ (צ) (מש"ל א)

$BF=BG$ (שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים זה לזה)

$AF=CG$ (צ.) (נתון)

נזכור כי $AB=AF+FB$ ,$BC=BG+GC$

לכן $AB=BC$

לכן $\angle A=\angle C$ (ז)

המשולש FAD ו- GCE חופפים לפי צ.ז.צ.

סעיף ג

$\angle ADF=\angle CEG=\alpha$

$\angle FDE=\angle GED=180-\alpha$ (השלמה לזוית שטוחה).

עתה נוכיח כי הזווית F ו-G במרובע שוות:

• $\angle CGE=\angle AFD=180-\alpha$ ז.מ.ב.ח
• $\angle DFG=\angle FGE=\alpha$ סכום זוויות נגדיות הן 180.
• $FG||DE$אם סכום זוג זוויות צמודות הוא 180 מעלות אז שני הישרים מקבילים.