מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 654 סעיף 1

טוען את הטאבים...

תרגיל

נתונה הפונקציה $c o s 2 x - 7 s i n x - 4$ בתחום $0 \leq x \leq 2 π$ .

מצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם הצירים
מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה
מצא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה
שרטט סקיצה של הגרף
מצא את שיעורי ה- $x$ של נקודות החיתוך של $f^{'} (x)$ עם ציר ה- $x$
מצא את התחום בו $f (x)$ חיובית וגם $f^{'} (x)$ שלילית

נושא

חקירת פונקציה טריגונומטרית, משוואות טריגונומטריות

פתרונות

נקודות חיתוך עם ציר ה- $x$

$y = c o s 0 - 7 s i n 0 - 4$

$y = 1 - 0 - 4 = - 3$

נקודות הינם $(0, - 3)$

נקודות חיתוך עם ציר ה- $y$

$c o s 2 x - 7 s i n x - 4 = 0$

על פי הזהות $c o s 2 x = 1 - 2 s i n^{2} x$ נקבל $1 - 2 s i n^{2} x - 7 s i n x - 4 = 0$

נצמצם, נכפיל ונקבל $2 s i n^{2} x + 7 s i n x + 3 = 0$

נציב $s i n x = t$ ונקבל $2 t^{2} + 7 t + 3 = 0$

לאחר הצבה במשוואת השורש הריבועי נקבל $t_{1} = - 0.5$ וגם $t_{2} = - 3$

נציב $s i n x = - 0.5$ נקבל $x_{1} = - \frac{π}{6} + 2 π k$ וגם $x_{2} = \frac{7 π}{6} + 2 π k$

נמיר את $x_{1} = - \frac{π}{6} + 2 π k$ לזווית החיובית (כלומר במקום לרשום $- 3 0^{\circ}$ נחשב $33 0^{\circ}$ על ידי $\frac{330}{180} = \frac{11}{6}$ ) דהיינו הפתרון $x_{1} = \frac{11 π}{6} + 2 π k$

נציב $s i n x = - 3$ אין פתרון.

לפיכך נקודות חיתוך עם ציר ה- $y$ הינם $(\frac{11 π}{6}, 0) (\frac{7 π}{6}, 0)$

נגזור את הפונקציה $y = c o s 2 x - 7 s i n x - 4$ ונקבל $y^{'} = - s i n 2 x - 7 c o s x$

נשווה לאפס: $0 = - s i n 2 x - 7 c o s x$

על פי הזהות $s i n 2 x = 2 s i n x * c o s x$ נקבל $- 2 s i n x * c o s x - 7 c o s x$

נוציא גורם משותף: $0 = c o s x (- 2 s i n x - 7)$

נשווה לאפס כל גורם: $c o s x = 0$ וגם $- 2 s i n x - 7 =$

נפתור: $c o s x = 0$ ונקבל $x_{1} = \frac{π}{2} + 2 * π k$ וגם $x_{2} = \frac{- π}{2} + 2 * π k$

נמיר את הפתרון $x_{2} = \frac{- π}{2} + 2 * π k$ לזווית חיובית דהינו $x_{2} = \frac{3 π}{2} + 2 * π k$

נפתור: $- 2 s i n x - 7 = 0$ ונקבל $s i n x = - \frac{7}{2}$ אין נקודת קיצון.

נציב בטבלה

$2 π$	300	$\frac{3 π}{2}$	$180$	$\frac{π}{2}$	$45$	$0$	$x$
קצה	-	נקודת קיצון/פיתול	+	נקודה קיצון/פיתול	-	קצה	y'
קצה	יורדת	מקסימום	עולה	נקודת מינמום	יורדת	קצה	y

נמצא את ערך ה- $y$ של נקודת המינמום המקומית $y = c o s (2 * 90) - 7 s i n (90) - 4 = - 12$ ועל כן $(\frac{π}{2}, - 12) m i n$

נמצא את ערך ה- $y$ של נקודת המקסימום המקומית $y = c o s (2 * 270) - 7 s i n (270) - 4 = 2$ ועל כן $(\frac{3 * π}{2}, 2) m a x$

נקודות קיצון גלובליות $(0, - 3) m a x, (2 π, - 3) m i n$

תחומי עליה : $\frac{π}{2} < x < \frac{3}{2} π$

תחומי ירידה : $0 < x < \frac{π}{2}, \frac{3}{2} π < x < 2 π$

1

הוסף קטגוריה מתאימה בהתאם לשם הפרק ושם הספר.