מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035303/תרגיל 2

טוען את הטאבים...

תרגיל

סדרה מוגדרת לכל $\ n$ טבעי על ידי הכלל :

${\begin{aligned}{\begin{cases}a_{1}=c\\a_{n}+a_{n+1}=4n\end{cases}}\\\end{aligned}}$

הראה שהאיברים הנמצאים במקומות האי זוגיים בסדרה מהווים סדרה חשבונית, וגם האיברים הנמצאים במקומות הזוגיים בסדרה מהווים סדרה חשבונית.
הוכח כי סכום $\ 2n$ האיברים הראשוניים של הסדה ( $\ S_{2n}$ ) אינו תלוי ב- $\ c$ .
מצא עבור איזה ערך של $\ c$ סדרת האיברים במקומות האי זוגיים זהה לסדרת האיברים במקומות הזוגיים (שתי הסדרות מתלכדות).

נושאים

סדרות

מקור

[1]

1

90%

#AAAAAA

center

א[עריכה]

נראה כי עבור כל $\ n>2$ מתקיים $\ a_{n}-a_{n-2}=d$ עם $\ d$ קבוע (למעשה, כך נראה כי הן האיברים שבמקומות הזוגיים והן האיברים שבמקומות האי זוגיים הם סדרה חשבונית עם אותו הפרש).

מנוסחת הנסיגה נובע שמתקיים הקשר:

$\ a_{n+1}=4n-a_{n}$

על כן:

$\ a_{n}-a_{n-2}=4(n-1)-a_{n-1}-a_{n-2}=4n-4-(4(n-2)-a_{n-2})-a_{n-2}=4n-4-4(n-2)+a_{n-2}-a_{n-2}=4n-4-4n+8=4$

ולכן קיבלנו שתי סדרות חשבוניות, עם קבוע $\ d=4$ עבור שתיהן.

ב[עריכה]

נסמן בתור $\ b_{1},b_{2},\dots$ את סדרת האיברים במקומות האי זוגיים, ובתור $\ c_{1},c_{2},\dots$ את סדרת האיברים במקומות הזוגיים, אז $\ b_{1}=a_{1}=c$ , ואילו $\ c_{1}=a_{2}=4-a_{1}=4-c$ .