מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035007/תרגיל 6

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

שאלה 6 [1][עריכה]

א[עריכה]

תחום ההגדרה כאן מושפע מגורם יחיד: אם יש לנו לוגריתם, הערך שהוא מקבל חייב להיות גדול מאפס. כלומר, אם יש לנו , חייב להתקיים .

על כן, אנו רוצים לדעת באיזה תחום ערכי הם כאלו כך שמתקיים:

המשוואה הראשונה היא אי שוויון סטנדרטי. כדי לפתור אותו נפתור ראשית את השוויון המתאים, ונקבל:

קיבלנו את הפתרונות

מכיוון שהמקדם של באי השוויון הוא חיובי, יש לנו פרבולה "צוחקת" ולכן התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא או .

נעבור כעת לאי השוויון השני. מכיוון שבסיס הלוגריתם קטן מ-1, הרי שערכו של הלוגריתם גדול מאפס רק עבור ערכים שהם קטנים מ-1. לכן נקבל את אי השוויון הבא:

ועל ידי העברת אגפים נקבל:

גם כאן יש לנו פרבולה "צוחקת", אך יותר קל למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר : על ידי הוצאת גורם משותף נקבל את המשוואה

שפתרונותיה הם

ואלו נקודות החיתוך. כלומר, התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא .

משני התנאים שמצאנו נקבל כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

וגם

ב[עריכה]

כדי לפתור את המשוואה אנחנו רוצים להביא את שני הלוגריתמים לבסיס משותף שיהיה נוח לעבוד איתו. מכיוון שאחד הלוגריתמים כבר בבסיס 4, נעביר את השני לאותו בסיס באמצעות הנוסחה . במקרה שלנו, ואילו , ואנו בוחרים . נקבל:

כמו כן, על פי חוקי הלוגריתמים נקבל מהאיבר הראשון בסכום:

נסמן ונקבל את המשוואה:

נכפול ב-, נעביר אגפים ונקבל את המשוואה:

ובכתיבה אחרת:

נפתור את המשוואה ונקבל:

קיבלנו שני פתרונות:

עבור הפתרון הראשון נקבל:

כלומר

עבור הפתרון השני נקבל:

כלומר:

ומכיוון ש- הוא בסיס ללוגריתם רק הפתרון החיובי תקף.

לסיכום, קיבלנו: