שאלה 6 [1]

א

תחום ההגדרה כאן מושפע מגורם יחיד: אם יש לנו לוגריתם, הערך שהוא מקבל חייב להיות גדול מאפס. כלומר, אם יש לנו $\ \log(a)$ , חייב להתקיים $\ a>0$ .

על כן, אנו רוצים לדעת באיזה תחום ערכי $\ x$ הם כאלו כך שמתקיים:

$\ 2x^{2}-3x+1>0$
$\ \log _{1/2}(2x^{2}-3x+1)>0$

המשוואה הראשונה היא אי שוויון סטנדרטי. כדי לפתור אותו נפתור ראשית את השוויון המתאים, ונקבל:

$\ x_{1,2}={\frac {3\pm {\sqrt {9-8}}}{4}}={\frac {3\pm 1}{4}}$

קיבלנו את הפתרונות $\ x_{1}=1,x_{2}={\frac {1}{2}}$

מכיוון שהמקדם של $\ x$ באי השוויון הוא חיובי, יש לנו פרבולה "צוחקת" ולכן התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא $\ x<{\frac {1}{2}}$ או $\ x>1$ .

נעבור כעת לאי השוויון השני. מכיוון שבסיס הלוגריתם קטן מ-1, הרי שערכו של הלוגריתם גדול מאפס רק עבור ערכים שהם קטנים מ-1. לכן נקבל את אי השוויון הבא:

$\ 2x^{2}-3x+1<1$

ועל ידי העברת אגפים נקבל:

$\ 2x^{2}-3x<0$

גם כאן יש לנו פרבולה "צוחקת", אך יותר קל למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר $\ x$ : על ידי הוצאת גורם משותף נקבל את המשוואה

$\ x(2x-3)=0$

שפתרונותיה הם

$\ x_{1}=0,x_{2}={\frac {3}{2}}$

ואלו נקודות החיתוך. כלומר, התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא $\ 0<x<{\frac {3}{2}}$ .

משני התנאים שמצאנו נקבל כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

$\ 0<x<{\frac {1}{2}}$

וגם

$\ 1<x<{\frac {3}{2}}$

ב

כדי לפתור את המשוואה אנחנו רוצים להביא את שני הלוגריתמים לבסיס משותף שיהיה נוח לעבוד איתו. מכיוון שאחד הלוגריתמים כבר בבסיס 4, נעביר את השני לאותו בסיס באמצעות הנוסחה $\ \log _{a}(y)={\frac {log_{b}(y)}{\log _{b}(a)}}$ . במקרה שלנו, $\ a=x$ ואילו $\ y=64$ , ואנו בוחרים $\ b=4$ . נקבל: