מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035007/תרגיל 6

שאלה 6 [1]

א

תחום ההגדרה כאן מושפע מגורם יחיד: אם יש לנו לוגריתם, הערך שהוא מקבל חייב להיות גדול מאפס. כלומר, אם יש לנו $\ \log(a)$, חייב להתקיים $\ a>0$.

על כן, אנו רוצים לדעת באיזה תחום ערכי $\ x$ הם כאלו כך שמתקיים:

• $\ 2x^{2}-3x+1>0$
• $\ \log _{1/2}(2x^{2}-3x+1)>0$

המשוואה הראשונה היא אי שוויון סטנדרטי. כדי לפתור אותו נפתור ראשית את השוויון המתאים, ונקבל:

• $\ x_{1,2}={\frac {3\pm {\sqrt {9-8}}}{4}}={\frac {3\pm 1}{4}}$

קיבלנו את הפתרונות $\ x_{1}=1,x_{2}={\frac {1}{2}}$

מכיוון שהמקדם של $\ x$ באי השוויון הוא חיובי, יש לנו פרבולה "צוחקת" ולכן התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא $\ x<{\frac {1}{2}}$ או $\ x>1$.

נעבור כעת לאי השוויון השני. מכיוון שבסיס הלוגריתם קטן מ-1, הרי שערכו של הלוגריתם גדול מאפס רק עבור ערכים שהם קטנים מ-1. לכן נקבל את אי השוויון הבא:

• $\ 2x^{2}-3x+1<1$

ועל ידי העברת אגפים נקבל:

$\ 2x^{2}-3x<0$

גם כאן יש לנו פרבולה "צוחקת", אך יותר קל למצוא את נקודות החיתוך שלה עם ציר $\ x$: על ידי הוצאת גורם משותף נקבל את המשוואה

$\ x(2x-3)=0$

שפתרונותיה הם

$\ x_{1}=0,x_{2}={\frac {3}{2}}$

ואלו נקודות החיתוך. כלומר, התחום שבו אי השוויון מתקיים הוא $\ 0<x<{\frac {3}{2}}$.

משני התנאים שמצאנו נקבל כי תחום ההגדרה של הפונקציה הוא:

• $\ 0<x<{\frac {1}{2}}$

וגם

• $\ 1<x<{\frac {3}{2}}$

ב

כדי לפתור את המשוואה אנחנו רוצים להביא את שני הלוגריתמים לבסיס משותף שיהיה נוח לעבוד איתו. מכיוון שאחד הלוגריתמים כבר בבסיס 4, נעביר את השני לאותו בסיס באמצעות הנוסחה $\ \log _{a}(y)={\frac {log_{b}(y)}{\log _{b}(a)}}$. במקרה שלנו, $\ a=x$ ואילו $\ y=64$, ואנו בוחרים $\ b=4$. נקבל:

• $\ \log _{x}(64)={\frac {\log _{4}(64)}{\log _{4}(x)}}={\frac {3}{\log _{4}(x)}}$

כמו כן, על פי חוקי הלוגריתמים נקבל מהאיבר הראשון בסכום:

• $\ \log _{4}(8x)=\log _{4}(x)+\log _{4}(4)+\log _{4}(2)=\log _{4}(x)+1+{\frac {1}{2}}=\log _{4}(x)+{\frac {3}{2}}$

נסמן $\ t=\log _{4}(x)$ ונקבל את המשוואה:

• $\ t+{\frac {3}{2}}+{\frac {3}{t}}=5$

נכפול ב-$\ t$, נעביר אגפים ונקבל את המשוואה:

• $\ t^{2}-{\frac {7}{2}}t+3=0$

ובכתיבה אחרת:

• $\ 2t^{2}-7t+6=0$

נפתור את המשוואה ונקבל:

• $\ t_{1,2}={\frac {7\pm {\sqrt {49-48}}}{4}}={\frac {7\pm 1}{4}}$

קיבלנו שני פתרונות:

• $\ t_{1}=2,t_{2}={\frac {3}{2}}$

עבור הפתרון הראשון נקבל:

• $\ \log _{4}(x)=2$

כלומר

• $\ x=4^{2}=16$

עבור הפתרון השני נקבל:

$\ \log _{4}(x)={\frac {3}{2}}$

כלומר:

$\ x=4^{3/2}={\sqrt {4^{3}}}={\sqrt {64}}=\pm 8$

ומכיוון ש-$\ x$ הוא בסיס ללוגריתם רק הפתרון החיובי תקף.

לסיכום, קיבלנו:

$\ x_{1}=8,x_{2}=16$