מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"ד/035006/תרגיל 6

טוען את הטאבים...

תרגיל	נתונה הפונקציה: $\ y=x^{2}+{\frac {8}{x}}$. מצא את תחום ההדרה של הפונקציה. מצא את נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגה. (דייק עד שתי ספרות אחרי הנקודה העשרונית) מצא את נקודת הפיתול של הפונקצי. מצא באיו תחומים פונקציה כעורה כל פי מטה ובאילו תחומים היא קעורה כלפי מעלה.
נושאים
מקור	[1]

1

90%

#AAAAAA

center

א

הפונקציה עשוייה להיות בעייתית רק אם נקבל אפס במכנה של ה-$\ {\tfrac {8}{x}}$, כלומר כאשר $\ x=0$. לכן תחום ההגדרה של הפונקציה הוא $\ x\neq 0$.

ב

נגזור את הפונקציה:

• $\ f'(x)=2x-{\frac {8}{x^{2}}}$

כדי למצוא את נקודת הקיצון יש למצוא את הנקודה בה הפונקציה מתאפסת, כלומר לפתור את המשוואה:

• $\ 2x-{\frac {8}{x^{2}}}=0$

נכפול את שני אגפי המשוואה ב-$\ x^{2}$ ונקבל:

• $\ 2x^{3}-8=0$

ולאחר העברת אגפים וחלוקה:

• $\ x={\sqrt[{3}]{4}}\approx 1.59$

כדי למצוא את ערך ה-$\ y$ של הנקודה, נציב את ערך ה-$\ x$ בפונקציה:

• $\ f({\sqrt[{3}]{4}})\approx 7.56$

כדי למצוא את ערך הנקודה נגזור שוב:

$\ f''(x)=2+{\frac {16}{x^{3}}}$

על ידי הצבה רואים ש-$\ f''({\sqrt[{3}]{4}})>0$ ולכן $\ (1.59,7.56)$ היא נקודת מינימום.

ג

נקודת הפיתול היא הנקודה שבה הנגזרת השניה של הפונקציה מחליפה סימן. כדי למצוא אותה, ראשית נבדוק באיזו נקודה הנגזרת השניה מתאפסת. נכתוב את המשוואה:

• $\ 2+{\frac {16}{x^{3}}}=0$

נכפול ב-$\ x^{3}$ ונקבל:

• $\ 2x^{3}+16=0$

נעביר אגפים, נחלק ב-2, נוציא שורש שלישי ונקבל:

• $\ x=-{\sqrt[{3}]{8}}=-2$

שימו לב כי כאן הוצאנו שורש שלישי ממספר שלילי - פעולה חוקית (בניגוד להוצאת שורש ריבועי ממספר שלילי, שאינה אפשרית במספרים ממשיים)

נציב בפונקציה המקורית ונקבל:

• $\ f(-2)=4-4=0$

לכן הנקודה ה"חשודה" כנקודת פיתול היא $\ (-2,0)$.

כדי לבדוק שזוהי אכן נקודת פיתול, נבדוק שערכי הנגזרת השניה שונים בסימנם לפני ואחרי הנקודה. קל לראות על ידי הצבה ש:

• $\ f''(-1)<0$

ולעומת זאת:

• $\ f''(-3)>0$

ולכן זוהי אכן נקודת פיתול.

ד

נזכור כי הפונקציה קעורה כלפי מטה כאשר הנגזרת השניה שלילית, וקעורה כלפי מעלה כאשר היא חיובית.

נחלק את תחום ההגדרה של הפונקציה לשלושה קטעים, שמופרדים על ידי הנקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת, והנקודה בה הנגזרת השניה מתאפסת: $\ (-\infty ,-2),(-2,0),(0,\infty )$. נבדוק את הקעירות של הפונקציה בכל אחד מהקטעים:

• בקטע $\ (-\infty ,-2)$ כבר ראינו קודם שהנגזרת השניה חיובית ולכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה.
• בקטע $\ (-2,0)$ כבר ראינו קודם שהנגזרת השניה שלילית ולכן הפונקציה קעורה כלפי מטה.
• בקטע $\ (0,\infty )$ קל לראות על ידי הצבה ש-$\ f''(1)>0$ ולכן הפונקציה קעורה כלפי מעלה.