מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"א (חדשה)/035306/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי לכל $\ n$ טבעי מתקיים : ${\frac {1}{n+3}}+{\frac {1}{n+4}}+\cdots +{\frac {1}{2n+4}}>{\frac {1}{2}}$

נושא: אינדוקציה-אי שיוויונים (מספיק לומר), מקרים באינדוקציה - עד האיבר המתאים

מקור: [1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&l_{eft}:{\frac {1}{2*1+4}}>R_{ight}{\frac {1}{2}}\\&l_{eft}:{\frac {1}{6}}>R_{ight}{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{1+3}}+{\frac {1}{1+4}}+{\frac {1}{1+5}}>{\frac {1}{2}}\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1}{k+3}}+{\frac {1}{k+4}}+\cdots +{\frac {1}{2k+4}}>{\frac {1}{2}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {1}{k+4}}+{\frac {1}{k+5}}+\cdots +{\frac {1}{2(k+1)+4}}>{\frac {1}{2}}\\&\underbrace {{\frac {1}{k+4}}+{\frac {1}{k+5}}+\cdots +{\frac {1}{2k+4}}} _{enough:{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{k+3}}}+{\frac {1}{2k+5}}+{\frac {1}{2k+6}}>{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{k+3}}+{\frac {1}{2k+5}}+{\frac {1}{2k+6}}>{\frac {1}{2}}\\&-{\frac {1}{k+3}}+{\frac {1}{2k+5}}+{\frac {1}{2k+6}}>0/*(k+3)(2k+5)(2k+6)[+]\\&-(2k+5)(2k+6)+(k+3)(2k+6)+(k+3)(2k+5)>0\\&-4k^{2}-12k-10k-30+2k^{2}+6k+6k+18+2k^{2}+5k+6k+15>0\\&3+k>0\\\end{aligned}}$

$\ k$ טבעי (חיובי ושלם) ולכן, האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.
$\ [+]$ - המכנה חיובי ומכאן שניתן לבטלו מבלי לשנות את מהות התרגיל.