מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/קיץ א, תשס"א/035302/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי עבור כל $\ n$ טבעי אי-זוגי הביטוי : $\ n^{3}+2n$ מתחלק ב-$\ 3$ ללא שארית.
במילים אחרות	אי זוגי ${\frac {n^{3}+2n}{3}}=\mathbb {Z}$
נושא	אינדוקציה-התחלקות, מקרים באינדוקציה אי זוגי,כפל מקוצר
מקור	[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$ (אי זוגי)

${\begin{aligned}&{\frac {1^{3}+2*1}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {3}{3}}=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {k^{3}+2k}{3}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+2

${\begin{aligned}&{\frac {(k+2)^{3}+2(k+2)}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k^{3}+6k^{2}+12k+8+2k+4}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {k^{3}+2k}{3}}+{\frac {6k^{2}+12k+8+4}{3}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {6k^{2}+12k+8+4}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6k^{2}+12k+12}{3}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {6(k^{2}+2k+2)}{3}}=\mathbb {Z} \\&2(k^{2}+2k+2)=\mathbb {Z} \\\end{aligned}}$

$\ k$ טבעי (חיובי ושלם) ולכן, האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.