מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ה/035006/תרגיל 3

התרגיל

נתונה סדרה חשבונית : $\ 2,5,8,\cdots a_{n},\cdots$. הוכח באינדוקציה שעבור כל $\ n$ טבעי הביטוי $\ 2*3^{a_{n}}+3*2^{a_{n}+1}$ מתחלק ב-$\ 38$ ללא שארית

נושא: אינדוקציה התחלקות, סכום והוכחת סכום

מקור: [1]

פתרון

נגדיר את הבעיה שלנו : מופיע אינדוקציה ואחריה תרגיל "שאין לו קשר אל האינדוקציה.
מחפשים קשר בין התרגילים.
מה מבקשים? על מה שואלים? : ${\frac {2*3^{a_{n}}+3*2^{a_{n}+1}}{38}}$
נתבונן וננסה להבין את הקשר (מה משותף לשני הסעיפים? מה מקשר בניהם? מה חסר בכדי שנוכל לקשר אותם?) בין השאלה לאינדוקציה : $\ 2,5,8,\cdots a_{n},\cdots$.

רמז ראשון

בשניהם יש $\ a_{n}$

רמז שני

אי אפשר להוכיח את האינדוקציה בגלל שבחזקה מופיע $\ a_{n}$ ו-$\ a_{n+1}$ אותם אנחנו לא יודעים לפרק

פתרון

צריך לגלות את $\ a_{n}$ באמצעות האינדוקציה הראשונה, ולהציב אותו באינדוקציה אותה עלינו להוכיח

מציאת $\ a_{n}$

למציאת $\ a_{n}$ עלינו למצוא את האיבר הראשון וההפרש בין האיברים. האיבר הראשון נתון לנו ($\ 2$) ולכן כל שעלינו לעשות הוא למצוא את ההפרש בין האיברים.

${\begin{aligned}&a_{2}-a_{1}\\&5-2=3\\&d=3\\\end{aligned}}$

עתה נציב את הגורמי במשוואת $\ a_{n}$ ונגלה את האנוסחא הכללית לאיברי הסדרה :

${\begin{aligned}&a_{n}=a_{1}+(n-1)d\\&a_{n}=2+(n-1)3\\&a_{n}=2+3n-3\\&a_{n}=3n-1\\\end{aligned}}$

בסדרה המבוקשת עלינו לדעת גם את $\ a_{n+1}$ לכן נגלה גם אותו :

${\begin{aligned}&a_{n+1}=a_{n}+d\\&a_{n+1}=3n-1+3\\&a_{n+1}=3n+2\\\end{aligned}}$

נציב את האיברים הכללים באינדוקציה השניה :
${\frac {2*3^{3n-1}+3*2^{3n+2}}{38}}$

הוכחת אינדוקציה

${\frac {2*3^{3n-1}+3*2^{3n+2}}{38}}=\mathbb {Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&{\frac {2*3^{3n-1}+3*2^{3n+2}}{38}}\\&{\frac {2*3^{3-1}+3*2^{3+2}}{38}}\\&{\frac {2*3^{2}+3*2^{5}}{38}}\\&{\frac {18+96}{38}}\\&{\frac {114}{38}}\\&3=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {2*3^{3k-1}+3*2^{3k+2}}{38}}=\mathbb {Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {2*3^{3(k+1)-1}+3*2^{3(k+1)+2}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*3^{3k+2}+3*2^{3k+5}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {2*3^{3k-1}*3^{3}+3*2^{3k+2}*2^{3}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {27*2*3^{3k-1}+{\color {blue}8}*3*2^{3k+2}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {({\color {blue}8}+19)*2*3^{3k-1}+8*3*2^{3k+2}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8*2*3^{3k-1}+19*2*3^{3k-1}+8*3*2^{3k+2}}{38}}=\mathbb {Z} \\&{\frac {8(2*3^{3k-1}+3*2^{3k+2})}{38}}+{\frac {19*2*3^{3k-1}}{38}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +{\frac {38*3^{3k-1}}{38}}=\mathbb {Z} \\&\mathbb {Z} +3^{3k-1}=\mathbb {Z} \surd \\\end{aligned}}$

• על פי ההנחה
• $\ k$ מספר טבעי ולכן החזקה של $\ 3^{3k-1}$ חיובית

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.