מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ה/035006/תרגיל 3

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

התרגיל[עריכה]

נתונה סדרה חשבונית : .
הוכח באינדוקציה שעבור כל טבעי הביטוי
מתחלק ב- ללא שארית

נושא: אינדוקציה התחלקות, סכום והוכחת סכום
מקור: [1]

פתרון[עריכה]

נגדיר את הבעיה שלנו : מופיע אינדוקציה ואחריה תרגיל "שאין לו קשר אל האינדוקציה.
מחפשים קשר בין התרגילים.
מה מבקשים? על מה שואלים? :
נתבונן וננסה להבין את הקשר (מה משותף לשני הסעיפים? מה מקשר בניהם? מה חסר בכדי שנוכל לקשר אותם?) בין השאלה לאינדוקציה : .


רמז ראשון

בשניהם יש


רמז שני

אי אפשר להוכיח את האינדוקציה בגלל שבחזקה מופיע ו- אותם אנחנו לא יודעים לפרק


פתרון

צריך לגלות את באמצעות האינדוקציה הראשונה, ולהציב אותו באינדוקציה אותה עלינו להוכיח


מציאת [עריכה]

למציאת עלינו למצוא את האיבר הראשון וההפרש בין האיברים. האיבר הראשון נתון לנו () ולכן כל שעלינו לעשות הוא למצוא את ההפרש בין האיברים.

עתה נציב את הגורמי במשוואת ונגלה את האנוסחא הכללית לאיברי הסדרה :

בסדרה המבוקשת עלינו לדעת גם את לכן נגלה גם אותו :

נציב את האיברים הכללים באינדוקציה השניה :

הוכחת אינדוקציה[עריכה]

בדיקה נכונות הטענה עבור [עריכה]

נניח כי הטענה נכונה עבור טבעי[עריכה]

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1[עריכה]

  • על פי ההנחה
  • מספר טבעי ולכן החזקה של חיובית

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.