מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ה/035006/תרגיל 3

התרגיל

נתונה סדרה חשבונית : $2,5,8,\cdots a_n,\cdots$. הוכח באינדוקציה שעבור כל $n$ טבעי הביטוי $2\ast 3^{a_n}+3\ast 2^{a_n+1}$ מתחלק ב-$38$ ללא שארית

נושא: אינדוקציה התחלקות, סכום והוכחת סכום

מקור: [1]

פתרון

נגדיר את הבעיה שלנו : מופיע אינדוקציה ואחריה תרגיל "שאין לו קשר אל האינדוקציה.
מחפשים קשר בין התרגילים.
מה מבקשים? על מה שואלים? : $\frac{2\ast 3^{a_n}+3\ast 2^{a_n+1}}{38}$
נתבונן וננסה להבין את הקשר (מה משותף לשני הסעיפים? מה מקשר בניהם? מה חסר בכדי שנוכל לקשר אותם?) בין השאלה לאינדוקציה : $2,5,8,\cdots a_n,\cdots$.

רמז ראשון

בשניהם יש $a_n$

רמז שני

אי אפשר להוכיח את האינדוקציה בגלל שבחזקה מופיע $a_n$ ו-$a_{n+1}$ אותם אנחנו לא יודעים לפרק

פתרון

צריך לגלות את $a_n$ באמצעות האינדוקציה הראשונה, ולהציב אותו באינדוקציה אותה עלינו להוכיח

מציאת $a_n$

למציאת $a_n$ עלינו למצוא את האיבר הראשון וההפרש בין האיברים. האיבר הראשון נתון לנו ($2$) ולכן כל שעלינו לעשות הוא למצוא את ההפרש בין האיברים.

$\begin{array}{cc}& a_2-a_1\\ & 5-2=3\\ & d=3\end{array}$

עתה נציב את הגורמי במשוואת $a_n$ ונגלה את האנוסחא הכללית לאיברי הסדרה :

$\begin{array}{cc}& a_n=a_1+(n-1)d\\ & a_n=2+(n-1)3\\ & a_n=2+3n-3\\ & a_n=3n-1\end{array}$

בסדרה המבוקשת עלינו לדעת גם את $a_{n+1}$ לכן נגלה גם אותו :

$\begin{array}{cc}& a_{n+1}=a_n+d\\ & a_{n+1}=3n-1+3\\ & a_{n+1}=3n+2\end{array}$

נציב את האיברים הכללים באינדוקציה השניה :
$\frac{2\ast 3^{3n-1}+3\ast 2^{3n+2}}{38}$

הוכחת אינדוקציה

$\frac{2\ast 3^{3n-1}+3\ast 2^{3n+2}}{38}=\mathbb{Z}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n=1$

$\begin{array}{cc}& \frac{2\ast 3^{3n-1}+3\ast 2^{3n+2}}{38}\\ & \frac{2\ast 3^{3-1}+3\ast 2^{3+2}}{38}\\ & \frac{2\ast 3^2+3\ast 2^5}{38}\\ & \frac{18+96}{38}\\ & \frac{114}{38}\\ & 3=\mathbb{Z}\surd \end{array}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n=k$ טבעי

$\frac{2\ast 3^{3k-1}+3\ast 2^{3k+2}}{38}=\mathbb{Z}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{array}{cc}& \frac{2\ast 3^{3(k+1)-1}+3\ast 2^{3(k+1)+2}}{38}=\mathbb{Z}\\ & \frac{2\ast 3^{3k+2}+3\ast 2^{3k+5}}{38}=\mathbb{Z}\\ & \frac{2\ast 3^{3k-1}\ast 3^3+3\ast 2^{3k+2}\ast 2^3}{38}=\mathbb{Z}\\ & \frac{27\ast 2\ast 3^{3k-1}+8\ast 3\ast 2^{3k+2}}{38}=\mathbb{Z}\\ & \frac{(8+19)\ast 2\ast 3^{3k-1}+8\ast 3\ast 2^{3k+2}}{38}=\mathbb{Z}\\ & \frac{8\ast 2\ast 3^{3k-1}+19\ast 2\ast 3^{3k-1}+8\ast 3\ast 2^{3k+2}}{38}=\mathbb{Z}\\ & \frac{8(2\ast 3^{3k-1}+3\ast 2^{3k+2})}{38}+\frac{19\ast 2\ast 3^{3k-1}}{38}=\mathbb{Z}\\ & \mathbb{Z}+\frac{38\ast 3^{3k-1}}{38}=\mathbb{Z}\\ & \mathbb{Z}+3^{3k-1}=\mathbb{Z}\surd \end{array}$

• על פי ההנחה
• $k$ מספר טבעי ולכן החזקה של $3^{3k-1}$ חיובית

הטענה נכונה עבור כל n טבעי, ע"פ שלושת שלבי האינדוקציה.