מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ד/035303/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	סדרה מוגדרת על ידי כלל נסיגה : ${\begin{aligned}{\begin{cases}a_{1}={\frac {1}{2}}\\a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}\end{cases}}\\\end{aligned}}$ הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי כל $\ n$ טבעי מתקיים : ${\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)^{2}}}<a_{n}$
נושאים	מציאת הנוסחה הכללית של הסדרה, אי שיוויון
מקור	[1] [2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

מציאת $\ an$

נמצא את הנוסחה הכללית לאיבר $\ an$ באמצעות הנוסחה של האיבר $\ a_{n+1}$: ומכאן הנוסחה של $\ a_{2n+2}$ הינה :
${\begin{aligned}&a_{1}={\frac {1}{2}}\\&a_{2}=a_{1}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{(1+1)(1+2)}}={\frac {2}{3}}\\&a_{3}=a_{2}+{\frac {1}{(2+1)(2+2)}}={\frac {3}{4}}\\\end{aligned}}$

כלומ הסדרה הינה : ${\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {3}{4}}+\cdots$, כלומר הנוסחה של האיבר הכללי (אותה ניתן לראות בעין) הינה : $\ a_{n}={\frac {n}{n+1}}$ (הסדרה היא סדרה הנדסית).

אינדוקציה

האיבר הראשון : $\ a_{1}={\frac {1}{2}}$

נוסחת הנסיגה: $a_{n+1}=a_{n}+{\frac {1}{(n+1)(n+2)}}$.
צ"ל :${\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{(n+1)^{2}}}<{\frac {n}{n+1}}$

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L:{\frac {1}{(n+1)^{2}}}={\frac {1}{(1+1)^{2}}}={\frac {1}{2}}\\&R:{\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}\\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

${\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{(k+1)^{2}}}<{\frac {k}{k+1}}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{(k+1)^{2}}}+{\frac {1}{(k+2)^{2}}}<{\frac {k+1}{k+2}}\\&\underbrace {{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots +{\frac {1}{(k+1)^{2}}}} _{enougth:{\frac {k}{k+1}}}+{\frac {1}{(k+2)^{2}}}<{\frac {k+1}{k+2}}\\&{\frac {k}{k+1}}+{\frac {1}{(k+2)^{2}}}<{\frac {k+1}{k+2}}\\&k(k+2)^{2}+k+1<(k+1)(k+1)(k+2)\\&k(k^{2}+4k+4)+k+1<(k^{2}+2k+1)(k+2)\\&k^{3}+4k^{2}+4k+k+1<k^{3}+2k^{2}+2k^{2}+4k+k+2\\&1<2\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.