טוען את הטאבים...

תרגיל

סדרה מוגדרת על ידי כלל נסיגה : $\begin{matrix} {\begin{matrix} a_{1} = 11 \\ a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 11 \end{matrix} \end{matrix}$

הוכחה באינדוציה, או בכל דרך אחרת, כי כל איבר בסדרה הנמצא במקום זוגי מתחלק ב-8.

נושאים

מציאת הנוסחה הכללית של הסדרה

מקור

[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

צ"ל : $\frac{a_{2 n}}{8} = ℤ$

בניית נוסחת הנסיגה

נוסחת הנסיגה של הסדרה $a_{2 n}$ הינה $a_{2 n + 2}$ , בכדי לבטא ולפרט את מרכבי הנוסחה, נפתח אותה, במצעות נוסחה הנסיגה הנתונה : $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 11$

נמצא את האיבר $a_{2 n}$ על פי נוסחת הנסיגה הנתונה: $a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 11$ .
$\begin{matrix} a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 11 \\ a_{n + 1 + n - 1} = a_{n + n - 1} + 2 (n + n - 1) + 11 \\ a_{2 n} = a_{2 n - 1} + 2 (2 n - 1) + 11 \\ a_{2 n} = a_{2 n - 1} + 4 n - 2 + 11 \\ a_{2 n} = a_{2 n - 1} + 4 n + 9 \end{matrix}$

בכדי למצוא את $a_{2 n + 2}$ עלינו למצוא את $a_{2 n + 1}$ שכן על פי נוסחת הנסיגה:
$\begin{matrix} a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 11 \\ a_{n + 1 + n + 1} = a_{n + n + 1} + 2 (n + n + 1) + 11 \\ a_{2 n + 2} = a_{2 n + 1} + 2 (2 n + 1) + 11 \\ a_{2 n + 2} = a_{2 n + 1} + 4 n + 2 + 11 \\ a_{2 n + 2} = a_{2 n + 1} + 4 n + 13 \end{matrix}$

לכן, נמצא את $a_{n + 1}$ על פי נוסחת הנסיגה ואותו נציב בנוסחה לעיל:
$\begin{matrix} a_{n + 1} = a_{n} + 2 n + 11 \\ a_{n + 1 + n} = a_{n + n} + 2 (n + n) + 11 \\ a_{2 n + 1} = a_{2 n} + 2 (n + n) + 11 \\ a_{2 n + 1} = a_{2 n} + 4 n + 11 \end{matrix}$

ומכאן הנוסחה של $a_{2 n + 2}$ הינה :
$\begin{matrix} a_{2 n + 2} = a_{2 n + 1} + 4 n + 13 \\ \Rightarrow a_{2 n + 1} = a_{2 n} + 4 n + 11 \\ a_{2 n + 2} = a_{2 n} + 4 n + 11 + 4 n + 13 \\ a_{2 n + 2} = a_{2 n} + 8 n + 24 \end{matrix}$

אינדוקציה

האיבר הראשון : $a_{1} = 11$

נוסחת הנסיגה: $a_{2 n + 2} = a_{2 n} + 8 n + 24$ .
צ"ל : $\frac{a_{2 k}}{8} = ℤ$

בדיקה נכונות הטענה עבור $n = 1$

$\begin{matrix} \frac{a_{2 n}}{8} = \frac{a_{2 n - 1} + 4 n + 9}{8} \\ \frac{a_{2 * 1}}{8} = \frac{a_{2 * 1 - 1} + 4 * 1 + 9}{8} \\ = \frac{a_{1} + 4 + 9}{8} \\ \Rightarrow a_{1} = 11 \\ = \frac{11 + 4 + 9}{8} \\ = \frac{24}{8} = 3 \end{matrix}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $n = k$ טבעי

$\frac{a_{2 k}}{8} = ℤ$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

$\begin{matrix} \frac{a_{2 (k + 1)}}{8} \\ \frac{a_{2 k + 2}}{8} \end{matrix}$

על פי נוסחת הנסיגה

$\frac{a_{2 k + 2}}{8} = \frac{a_{2 k} + 8 k + 24}{8}$

על פי הנחת האינדוקציה

$\begin{matrix} \underset{ℤ}{\underset{⏟}{\frac{a_{2 k}}{8}}} + \frac{8 k + 24}{8} \\ = ℤ + \frac{8 (k + 3)}{8} \\ = ℤ + k + 3 \end{matrix}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.