מתמטיקה תיכונית/מתמטיקה לבגרות/פתרונות מבחני בגרות/אינטרני/חורף, תשס"ב/035303/תרגיל 3

טוען את הטאבים...

תרגיל	הוכח באינדוקציה (או בכל דרך אחרת) כי עבור כל $\ n$ טבעי מתקיים : $\ (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+\cdots +(4n-1)=3n^{2}$.
נושאים	אינדוקציה,מקרים באינדוקציה-האיבר האשון נעלם
מקור	[1][2]

1

90%

#AAAAAA

center

פתרון

סעיף 1

בדיקה נכונות הטענה עבור $\ n=1$

${\begin{aligned}&L_{eft}(4*1-1)=R_{ight}:3*1^{2}\\&L_{eft}:3=R_{ight}:3\surd \\\end{aligned}}$

נניח כי הטענה נכונה עבור $\ n=k$ טבעי

$\ (2k+1)+(2k+3)+(2k+5)+\cdots +(4k-1)=3k^{2}$

נוכיח כי הטענה נכונה עבור n=k+1

${\begin{aligned}&(2(k+1)+1)+(2(k+1)+3)+(2(k+1)+5)+\cdots +(4(k+1)-1)=3(k+1)^{2}\\&(2k+3)+(2k+5)+(2k+7)+\cdots +(4k-1)+(4k+1)+(4k+3)=3(k^{2}+2k+1)\\&\underbrace {(2k+3)+(2k+5)+(2k+7)+\cdots +(4k-1)+(4k+1)+(4k+3)} _{3k^{2}-(2k+1)}+(4k+1)+(4k+3)=3(k^{2}+2k+1)\\&3k^{2}-(2k+1)+(4k+1)+(4k+3)=3k^{2}+6k+3\\&3k^{2}-2k-1+4k+1+4k+3=3k^{2}+6k+3\\&3k^{2}+6k+3=3k^{2}+6k+3\\\end{aligned}}$

האינדוקציה נכונה על פי 4 שלבי האינדוקציה.