מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/שיפוע

מתוך ויקיספר
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

פירוש המילה[עריכה]

מי שיפתח מילון ויבדוק את משמעות המילה שיפוע, יגלה :
שיפוע = אלכסון, קו הנוטה בזווית שאינה ישרה.

הקשר של שיפוע לפונקציות[עריכה]

לכל פונקציה יש שיפוע. שיפוע עוזר לנו לגלות את התנהגות הפונקציה, כגון :

  1. מתי הפונקציה עולה או יורדת?
  2. מהי זווית הפונקציה? כלומר, כמה חד אלכסון הפונקציה.

הסבר המילה[עריכה]

שיפוע, מבטא את "תלילות" של גרף הפונקציה. במתמטיקה מסומן באות m.

תלילות השיפוע[עריכה]

שיפוע יכול להיותר חיובי, שווה לאפס ושלילי. כאשר השיפוע חיובי :

  • ככל ששיפוע הפונקציה גדול יותר, גרף הפונקציה "תלול" יותר.
  • ככל שהוא קטן יותר (עד 0) הוא "מתון" יותר -

כאשר שיפוע שלילי :

  • ככל שהשיפוע קטן יותר, הירידה תהיה חדה יותר.

כאשר השיפוע שווה לאפס, הפונקציה תיהיה פונקציה המקבילה לציר X.

הזווית[עריכה]

  1. כאשר הזווית שבין הישר לבין ציר ה-x היא חדה (קטנה מ-90 מעלות), הפונקציה בעלייה, כלומר השיפוע חיובי. בעוד שכאשר הזווית היא קהה, הפונקציה בירידה, כלומר השיפוע שלילי.
  2. כשאר הזווית שווה ל-180 מעלות (או 0 מעלות - זה אותו הדבר), הפונקציה מהווה ישר המקביל לציר ה-x, ובעצם אין עלייה בערכי ה-y - הפונקציה נקראת פונקציה קבועה, והשיפוע שלה שווה ל-0.
  3. כאשר הזווית שווה ל-90 מעלות, ניתן לראות כי הישר (לא פונקציה) מקביל לציר ה-y. לישר זה יש שיפוע אינסופי - הפונקציה עולה בבת אחת, בלי התקדמות בכלל בציר ה-x, באינסוף ערכי y - שיפוע כזה נקרא "שיפוע לא מוגדר".
שיפוע של פונקציה הוא שיפוע קבוע (אינו משתנה)
על-פי המשפט הידוע לנו מהגאומטריה האוקלידית, בין 2 נקודות ניתן להעביר (קו) ישר אחד בלבד. כלומר, בהינתן לנו 2 נקודות על מערכת צירים כלשהי, ניתן להעביר דרכן ישר אחד בלבד - ישנה פונקצית ישר אחד בלבד אשר יכולה לעבור דרך 2 נקודות אלו. מכאן אפשר להסיק שביודענו 2 נקודות על גרף של פונקצית ישר, ישנו רק שיפוע אחד אפשרי.



מציאת שיפוע על ידי 2 נקודות[עריכה]

דרישות :

  1. 2 נקודות נתונות שעל הפונקציה.
  2. פונקציה - ממנה נוכל למצוא 2 נקודות.

הנוסחא : m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.

הערה
לא חובה לזכור את הנוסחה בצורה המדויקת הזו, שכן יש אפשרות לחילוף בין האברים כל עוד מחליפים גם במכנה וגם במונה. כך שניתן באופן כללי לזכור כי צריך לחלק את ההפרש בyים (לא משנה אם  \ y_1 הוא הראשון או  \ y_2) בהפרש הxים (גם כאן לא משנה מי הראשון, פשוט להתאים באותו סדר כמו בyים).



ערך Y ו-X[עריכה]

על פי הנוסחא אפשר לראות בברור שכאשר :

  • ככל שהמונה גדול מהמכנה ; ערך Y גדול מערך X - ערך השיפוע גדל.
  • ככל שהמכנה גדול מהמונה ; ערך X גדול מערך Y - ערך השיפוע קטן.

דוגמאות[עריכה]

דוגמא 1[עריכה]

נתון - פונקציה ועליה שתי הנקודות הבאות :

  1. הנקודה A(2,5)
  2. הנקודה : B (3,6)

מצא את שיפוע הישר.

פתרון :

  • הנוסחא : m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.
  • נציב את הנקודה הראשונה : m = \frac{5-y_2}{2-x_2}.
  • נציב את הנקודה השנייה : m = \frac{5-6}{2-3}.
  • נפתור : m_{AB}=\frac{-1}{-1}=1.

הפתרון : m_{AB}=1

דוגמה 2[עריכה]

מצא את השיפוע של פונקציה העוברת בנקודות  \ A(5,10), B(10,20). פשוט מאוד נציב בנוסחה ונקבל את התשובה:

  •  \ m = \frac{20 - 10}{10 - 5} = \frac{10 - 20}{5 - 10} = 2.

דוגמה 3[עריכה]

מצא את השיפוע של פונקציה העוברת בנקודות  \ A(12,30), B(16,10), מה הוא סוג הזווית שבין גרף הפונקציה לבין ציר הx?.

גם הפעם נציב בנוסחה:

  •  \ m = \frac{30 - 10}{12 - 16} = \frac{10 - 30}{16 - 12} = -5.

קיבלנו שיפוע שלילי, אך אין לנו מה לדאוג, הרי כפי שראינו, שיפוע שלילי הוא אפשרי בהחלט, ובאמת גם אפשר לראות על פי הנקודות, כי הפונקציה יורדת (ירדה מ30 ל10).

עכשיו אחרי שגילינו כי הפונקציה יורדת, אפשר בקלות לפתור את החלק השני של התרגיל - כאשר פונקציה בירידה הזווית תמיד תהיה קהה.

דוגמא 4[עריכה]

נתונה הפונקציה : y=5x+2. מצא את שיפוע הפונקציה על פי נוסחאת השיפוע.

פתרון :

  1. נציב ערכי X בפונקציה, כמו למשל : X=0, x=1
  2. נמצא את ערכי ה-Y שלהם על ידי הצבת ערכי X בפונקציה.
    • f(1)=7
    • f(0)=2
  3. נציב במשוואת השיפוע : m =\frac{7-2}{1-0}=5

משמעות השיפוע[עריכה]

Edit-undo.svg

שקול לדלג על נושא זה

נושא זה יהיה מובן יותר לאחר למידת הנושא הפונקציות הטריגונומטריות



הבנת הרעיון[עריכה]

tan \alpha=\frac{a}{b}

בכדי לחשב את ערך השיפוע, אנו צריכים לדעת לחשב אלכסון. נושא הפונקציות הטריגונומטריות, דן על חישוב אלכסון של משלוש באמצעות טנגס.

על פי הנושא : בכדי למצוא את אלכסון המשולש (שיפוע המשולש), אנו למעשה, צריכים למצוא את הזווית שיוצר האלכסון עם ציר ה-X.

לפעולה זו נבצע את התרגיל : tan \alpha=\frac{a}{b}

הוכחת הנוסחא[עריכה]

נחזור אל הפונקציה שלנו המצויירת על מערכת צירים.

כפי שניתן לראות בתמונה, ניתן למצוא את שיפוע הפונקציה באמצעות "יצירת משולש" עבורו נגלה את אורכי הצלעות

מציאת אורכי צלעות[עריכה]

בניגוד למשולש שאינו נמצא על מערכת צירים, המשולש שלנו נמצא על מערכת צירים. לכן, בכדי למצוא את אורך המשולש, יש להחסיר את הערכים המיותרים

צלע A - צלע המקבילה לציר ה-y : בכדי למצוא את אורך הצלע אנו צריכים להחסיר בין ה-Y. כלומר, בין y אדום (מציר X ועד לנקודה האדומה) ל-y שחור (מציר ה-X ועד לנקודה השחורה), על מנת שישאר לנו הקטע הירוק (הקטע בין הנקודה האדומה לנקודה השחורה).

כלומר החלק הירוק הוא ההפרש (\Delta) של ה-y.


צלע B - צלע המקבילה לציר X : בכדי למצוא את אורך הצלע אנו צריכים להחסיר בין ה-X. כלומר, בין X אדום (מראשית הצירים ועד לנקודה האדומה) ל-X שחור (מראשית הצירים ועד לנקודה השחורה), על מנת שישאר לנו הקטע הירוק (הקטע בין הנקודה האדומה לנקודה השחורה).

כלומר החלק הירוק הוא ההפרש (\Delta) של ה-X

הצבת הערכים במשפט טנגס[עריכה]

נציב את אורכי הצלעות במשוואה tan \alpha=\frac{a}{b} ונמצא את זווית האלכסון; כלומר, את השיפוע שלו.

נקבל : tan \alpha= \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.

שזהה לנוסחא המופשטת : m = \frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}.

ערך הזוויות ביחס לשיפוע[עריכה]

  • אם הזווית חדה - הפונקציה אמורה להיות בעלייה, ובהחלט, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית חדה תמיד יהיה חיובי, כלומר שיפוע חיובי - פונקציה עולה.
  • אם הזווית קהה - הפונקציה אמורה להיות בירידה, ובהחלט, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית קהה תמיד יהיה שלילי, כלומר שיפוע שלילי - פונקציה יורדת.
  • אם הזווית שווה ל90 מעלות - השיפוע אמור להיות לא מוגדר, וגם כאן, כפי הידוע לנו, טגנס של זווית ישרה הוא לא מוגדר - שיפוע לא מוגדר.
  • אם הזווית שווה ל180 (או 0 - אותו הדבר) מעלות, השיפוע אמור להיות 0, וכן, טגנס של 180 מעלות הוא באמת 0.

הזווית בין ציר ה-Y לגרף[עריכה]

תמונה חופשיתאין תמונה חופשית

לפעמים, במקום לתת את הזווית בין ציר ה-X לגרף הפונקציה, נותנים לנו את הזווית בין ציר ה-Y לגרף הפונקציה. בכדי למצוא את הזווית בין גרף הפונקציה לציר X נבצע את הפעולות הבאות :

  • הזווית בין ציר X לציר Y שווה 90.
  • החסרת הזווית שבין ציר y לגרף הפונקציה מהזווית הישרה.
  • קבלת הנותר - הזווית בין גרף הפונקציה לציר ה-X.

ניתן גם להשתמש בקוטגנס.

דוגמאות[עריכה]

דוגמה 1[עריכה]

מהו השיפוע של פונקציה שבה הזווית שבין גרף פונקצית הישר לציר הx שווה ל45 מעלות? פשוט מאוד, נציב בנוסחה ונקבל תשובה:

  •  \ m = tan 45^{\circ} = 1 .

דוגמה 2[עריכה]

נתונה הפונקציה  \ y = 2x + 5, מהי הזווית בין הגרף שלה לבין ציר הx ?

הפעם נשתמש בפונקציה ההופכית לטגנס. אבל ראשית, עלינו להבין כי השיפוע במקרה זה שווה ל2 - שכן הוא המקדם של הx. עכשיו נציב הכל בנוסחה:

  •  \ 2 = \tan \alpha .

ונפתור את המשוואה ע"י שימוש בארקטגנס:

  •  \alpha = \arctan 2 = 63^{\circ}27'.