מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/משוואת הקו הישר

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש
Icono copyedit2.png יש לשכתב ערך זה
ייתכנו לכך מספר סיבות: ייתכן שהמידע המצוי בדף זה מכיל טעויות, או שהניסוח וצורת הכתיבה שלו אינם מתאימים לוויקיספר. אתם מוזמנים לסייע ולתקן את הבעיות בדף זה, אך אנא אל תורידו את ההודעה כל עוד לא תוקן הדף. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.


נוסחות

משוואת הישר: \ y=mx+c

נוסחה משוואת הקו הישר: \ y-y_1=m(x-x_1)

נוסחת השיפוע (\ m): {y_1 - y_2 \over x_1 - x_2}

הישר[עריכה]

ישר הוא קו העובר דרך שתי נקודות.

ההבחנה בין פונקציה ישרה לישר: קו ישר יכול להיות פונקציה ישרה כאשר הוא עונה על תנאי הפונקציה. לא כל ישר הוא פונקציה ישרה אבל כל פונקציה ישרה היא ישר. למשל  \ x = 2 הוא ישר העובר דרך הנקודות  \ (2,0), (2,1) וכן הלאה אך אינו ממלא את תנאי הפונקציה.

בנית ישר באמצעות הצבת ערכים[עריכה]

כאשר נתונת משוואת הישר ניתן להציב נקודות על הישר ולצייר אותו.

משוואת הישר[עריכה]

 \ y = mx + n (לעיתים מסמנים \ a במקום  \ m ו- \ b במקום  \ n). כאשר  \ m ו-  \ n הם מספרים (מקדמים) ידועים.

כל אחד מהמקדמים הידועים משפיע באופן אחר על גרף הפונקציה:  \ m

נקודת החיתוך עם ציר ה-y - האיבר החופשי[עריכה]

ניתן לראות בפשטות כי האיבר n אינו תלוי בערכו של x, והוא ישאר קבוע, על כן הוא נקרא "האיבר החופשי". לאיבר זה תכונה מיוחדת אחת - כאשר נציב 0 במקום x בתבנית הפונקציה (דבר המסמל בעצם את נקודת החיתוך עם ציר הy), נקבל  \ y = n. כלומר, נקודת החיתוך עם ציר הy שווה לn.

n בעצם, לא משפיע על הצורה של הגרף (הזווית שלה), כי כפי שראינו, השיפוע הוא מה שמשפיע. אז מה n כן עושה ? פשוט מאוד - "מרים" (ומוריד במקרה והוא שלילי) את הישר למעלה ולמטה על ציר הy.

שיפוע[עריכה]

  • ראה הרחבה מצב הדדי בין פונקציות
    • אם נתון ישר מקביל, יש להם אותו שיפוע, ואם נתון ישר מאונך, אז השיפועים מקיימים: \ m_1 \cdot m_2 = -1
    • אם נתונה הזווית \ \alpha עם ציר ה-x, מתקיים: \ \tan \alpha = m

פתרון בעיות[עריכה]

מציאת ישר באמצעות שתי נקודות[עריכה]

בהתאם להגדרת הישר, ניתן לבנות ישר באמצעות שתי נקודות.

  • נמצא את השיפוע של הישר באמצעות נוסחת השיפוע: {y_1 - y_2 \over x_1 - x_2}
  • הצבת השיפוע ונקודה ב\ y-y_1=m(x-x_1)

מציאת n בהינתן נקודה ושיפוע[עריכה]

במידה וידוע לנו שיפוע  \ m_1 של פונקציית־ישר כלשהי, ובנוסף אנחנו יודעים שנקודה מסויימת שתסומן  \ A(x_1, y_1) נמצאת על הישר (כלומר, ערכי הנקודה מקיימים את פונקציית הישר), אזי קל מאוד למצוא את n.

אז איך עושים זאת? מאחר וערך השיפוע m ידוע, וכן ערכי y ו־x ידועים, פשוט נציב את כל הידוע לנו במשוואת הישר  \ y = mx + n:

  •  \ y_1 = m_1 \cdot x_1 + n
  • נפתור את המשוואה:  \ n = y_1 - m_1 \cdot x_1.

זהו, מצאנו.

דוגמה[עריכה]

נתונה פונקציית הישר  \ y = 5x + n (כלומר  m_1 = 5 ), וידוע כי על הישר נמצאת הנקודה  \ A(4, 30). מהו ערכו של y כאשר  \ x = 7?

פתרון:

  • נציב את ערכי הנקודה במשוואת הישר:  \ 30 = 5 \cdot 4 + n
  • נפתור ונקבל:  \ n = 10
  • עכשיו ננסח מחדש את פונקציית הישר במלואה לפי תבנית הפונקציה:  \ y = 5x + 10
  • נציב את ערך ה־x שביקשו מאיתנו, ונקבל את הפתרון:  \ y = 5 \cdot 7 + 10 = 45

וקיבלנו את הפתרון.

מציאת b בהנתן 2 נקודות[עריכה]

השיטה הפשוטה ביותר, היא כמובן, להציב את ערכי 2 הנקודות בנוסחה למציאת השיפוע (או, אם נתונה זווית, להציבה בטגנס ולמצוא שיפוע) ואז למצוא את n בעזרת נקודה אחת מהשתיים והשיפוע שמצאנו.

שיטה נוספת, ארוכה במקצת, אך חוסכת את ידיעת הנוסחות בעל-פה היא הצבת 2 הנקודות בתבנית פונקצית ישר, ולקבל 2 משוואות ב2 נעלמים ממעלה ראשונה, אותן אנחנו יודעים לפתור. נניח ויש לנו 2 נקודות:  \ A(x_1, y_1) ו-  \ B(x_2, y_2). המשוואות שנקבל יהיו: 
\left\{
\begin{matrix} y_1 & = & m \cdot x_1 + b \\  
               y_2 & = & m \cdot x_2 + b  \end{matrix}
\right.

כמובן שאם ברצוננו למצוא את n בלבד, אין צורך בפתירה מלאה של 2 המשוואות, אלא פתרון עד מציאת n בלבד, אך בדרך כלל מבקשים למצוא את כל הפונקציה.