חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Costello (שיחה | תרומות)
מאין תקציר עריכה
אין תקציר עריכה
שורה 85: שורה 85:


{{הוכחה|
{{הוכחה|
נניח בלי הגבלת הכלליות כי <math>\ \left\{a_n \right\}</math> סדרה מונוטונית עולה. נסמן את הסופרמום של הסדרה ב-<math>L</math>, ונוכיח כי הסדרה מתכנסת אליו. מהגדרת הסופרמום נובע כי <math>\forall \varepsilon > 0 \exists N: L - \varepsilon < a_N</math>. בנוסף מכיוון שהסדרה מונוטונית עולה מתקיים <math>\forall N \forall n > N: a_N \leq a_n</math>. נזכור גם כי <math>L</math> הוא הסופרמום ולכן <math>\forall n: a_n \leq L</math>. משילוב התוצאות נקבל <math>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: L - \varepsilon < a_N \leq a_n \leq L < L + \varepsilon</math> ובסך הכל <math>\forall \varepsilon > 0 \exists N \forall n > N: L - \varepsilon < a_n < L + \varepsilon</math> כנדרש.

}}}}
}}}}



גרסה מ־13:24, 10 ביולי 2012

חשבון אינפיניטסימלי










לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -


משפט:

אם קיים כך שלכל טבעי מתקיים אזי

הוכחה: לכל קיים שעבורו מתקיים -

ולכן


למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה , המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל -

מתקיים -



משפט:

אם אזי

הוכחה: על פי אי שוויון המשולש השני -

נתון כי לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים - . אזי לכל נבחר את אותו ה-, ואז -

ולכן


אם נסתכל למשל על הסדרה - -

נראה כי הגבול שלה הוא . לכל נבחר ואז יתקיים -

לכן . כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה כלומר כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי .



משפט:

סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד


הוכחה: נתון כי , צריך להוכיח כי אם מתקיים גם אזי
נניח בשלילה כי , כך ש . ונניח בלי הגבלת הכלליות כי
נתון כי ולכן לכל , ובפרט עבור מתקיים כי כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים נמצאים בסביבה של , כלומר אינסוף מאברי הסדרה מקיימים
נתון גם כי ולכן לכל , ובפרט עבור מתקיים כי כל אברי הסדרה, פרט למספר סופי של אברים נמצאים בסביבה של , כלומר מקיימים
וזאת בסתירה לכך שאינסוף מאברי הסדרה מקיימים . לכן ההנחה שגויה, ו-



הוכחה זו עלולה להראות מעט סתומה בתחילה, ולכן נתעמק במשפט ובהוכחה. המשפט טוען כי אם ידוע לנו כי סדרה מסויימת שואפת לגבול מסויים - לא ייתכן כי אותה הסדרה תשאף גם לגבול אחר. כלומר אם אנחנו יודעים כי סדרה שואפת לאפס למשל, לא ייתכן שהיא שואפת גם ל-42. הוכחת המשפט הזה, כמו הוכחות רבות אחרות, מתבססת על הנחה בשלילה - אנו מתחילים את ההוכחה בהנחה כי משהו הוא נכון - מבצעים פעולות מתמטיות שאנחנו יודעים כי הן נכונות, ומגיעים לסתירה. כיוון שכל מה שעשינו בדרך פרט להנחה המקורית היה נכון - סימן שההנחה שגויה, הנקודה הבעייתית היא לנסח את ההנחה כך שעל ידי ההוכחה כי ההנחה שגויה יתברר כי המשפט נכון.

דבר נוסף שעשינו בתחילת ההוכחה היה להגיד "נניח בלי הגבלת הכלליות". משמעות הניסוח הזה היא שעומדים לפנינו שני מצבים שונים, שהדרך להוכיח אותם היא זהה לחלוטין, למעט הסימנים פלוס () או מינוס (), וקטן מ () או גדול מ (). בדרך כלל משפט זה יופיע בהוכחות שבהן אנחנו יודעים כי שני מספרים שונים זה מזה אך לא יודעים מי גדול יותר (ואין זה משנה את התוצאה - אלא רק את הדרך להראות אותה) או במקרים בהם צריך לטפל בנפרד במספרים חיוביים ושליליים.

ההוכחה עצמה התבססה על ההגדרה הראשונה של הגבול, ואם ננסח אותה בלשון מעט פחות מתמטית - אם הסדרה מתכנסת לגבול מסויים, ואנחנו רוצים להוכיח כי היא אינה מתכנסת למספר אחר נבחר סביבה בגודל מחצית ההפרש בינהם. הבחירה הזו יוצרת הפרדה בין הסביבה של הגבול הידוע לסביבה של המספר החדש - וכיוון שאנחנו יודעים איפנה נמצאים אינסוף מאברי הסדרה (בסביבת הגבול הידוע) לא ייתכן כי הם נמצאים בסביבת המספר החדש - ולכן הוא אינו גבול של הסדרה.


עכשיו תורכם:

בהוכחת המשפט הנחנו בלי הגבלת הכלליות כי כלומר ניתן היה לבצע את אותה ההוכחה עם שינויי סימן וכיוון גם עבור . נסח את ההוכחה המדוייקת עבור המקרה הזה.



משפט:

יהיו שתי סדרות. אם וקיימים שני מספרים שלמים כך שלכל מתקיים אזי גם


הוכחה: נתון כי , כלומר לכל קיים כך שלכל מתקיים . לכל נבחר , ואז לכל יתקיים -

ולכן



גם המשפט הזה עלול להראות לא ברור, אך הוא משפט חשוב ביותר - ולמעשה גם פשוט ביותר. המשפט הזה בעצם אומר שאם סדרה מסויימת מתכנסת לגבול מסויים, וסדרה אחרת זהה לסדרה הראשונה החל ממקום מסויים - גם הסדרה השנייה מתכנסת לאותו גבול. או לחילופין - אם לוקחים סדרה מתכנסת, מוסיפים לה מספר סופי של איברים, מחסירים ממנה מספר סופי של איברים, ומשנים בה מספר סופי של איברים - זה לא ישפיע על הגבול שלה. הסיבה שהמשפט הזה נכון היא פשוטה - בהתכנסות של סדרה אנחנו לא מסתכלים על האיברים הראשונים בסדרה, למעשה אנחנו לא מסתכלים על אף איבר בסדרה שניתן להצמיד לו מספר - אנחנו מסתכלים מה קורה לאברי הסדרה כשאנחנו מתקדמים לעבר האינסוף, ולכן שינוי שנעשה גם באיבר המליון, המליארד או הגוגול הוא זניח, ולא משפיע על הגבול. עם זאת יש לשים לב שמספר האיברים שאנו משנים בסדרה חייב להיות סופי, אפשר להסיר את 17 האיברים הראשונים, להחליף את האיבר ה42 ב-33 ולהוסיף במקום המליון ואחד את המספר - והגבול של הסדרה לא ישתנה, אבל אם למשל נוסיף את המספר 2 אחרי כל איבר עשירי - הרי ששינינו אינסוף איברים, והמשפט כבר לא יכול לעזור לנו לחשב את הגבול של הסדרה החדשה.

לדוגמא, נתונה הסדרה הבאה -

זו היא למעשה הסדרה שהוספנו לה 5 איברים בתחילתה. אבל כיוון שמהאיבר השישי והלאה הסדרות זהות גם הגבולות שלהן זהים, וכיוון שכבר ראינו ש אז לפי המשפט מתקיים גם .



משפט:

אם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה


הוכחה: נתון כי הסדרה מתכנסת. יהא הגבול של הסדרה ויהא , כיוון שהסדרה מתכנסת קיים כך שלכל מתקיים -

נסתכל על קבצות האיברים בסדרה המקיימים כיוון ש הוא מספר נתון מדובר בקבוצה סופית, נסמן את המספר הגדול ביותר בקבוצה זו ב- ואת האיבר הקטן ביותר ב.

כל אברי הסדרה המקיימים מקיימים ויתר אברי הסדרה מקיימים ולכן הסדרה חסומה מלעיל על ידי .

כל אברי הסדרה המקיימים מקיימים ויתר אברי הסדרה מקיימים ולכן הסדרה חסומה מלרע על ידי .

הראנו כי הסדרה חסומה מלעיל ומלרע ולכן הסדרה חסומה.



הטענה שבמשפט הזה היא כל סדרה מתכנסת היא חסומה, כלומר יש לה חסם עליון וחסם תחתון (ניתן להזכר בהגדרה של סדרה חסומה), בשלב זה הן המשפט והן ההוכחה אמורים להיות אינטואיטיביים למדי מבחינתך, ובכל זאת מומלץ לעבור על ההוכחה בעיון ולוודא שאכן הכל מובן. הרעיון המרכזי של ההוכחה הזו היא הגדרת שרירותי (במקרה הזה בחרנו ב-1, אך כל מספר אחר גדול מאפס היה טוב באותה מידה) וחלוקת הסדרה לשני חלקים - חלק ראשון מכיל את כל האיברים החל מהערך ה-, כלומר האיבר שהחל ממנו כל אברי הסדרה נמצאים בסביבה של הגבול והחלק השני הוא כל האיברים שלפני האיבר הזה. ברור שהחלק הראשון חסום, שכן כל האיברים שבו נמצאים בטווח של לא יותר מ- מהגבול, באשר לחלק השני - כיוון שמדובר במספר סופי של איברים, אנחנו יכולים פשוט לבחור את האיברים הגדול ביותר והקטן ביותר מבינהם, ולאמר שכל שאר האיברים חסומים בינהם. כדי לחסום את כל הסדרה פשוט ניקח כמקסימום את או האיבר הגדול ביותר מבין החלק השני - הגדול מבינהם וכמינימום את או האיבר הקטן ביותר מבין החלק השני - הקטן מבינהם, כל אברי הסדרה חסומים בין שני מספרים אלו.

כעת אם נתבונן על סדרה שאלף איברים הראשונים הם ערכים אקראיים, והחל מהאיבר האלף ואחד כל האיברים הם 2, ונרצה לדעת האם הסדרה חסומה נוכל לומר על פי המשפט הקודם כי היא מתכנסת לאותו גבול כמו הסדרה ועל פי המשפט הראשון בעמוד הזה כי הסדרה מתכנסת ל-2. לכן כיוון שמדובר בסדרה מתכנסת היא בהכרח חסומה, בלי לתות בערכים של אלף הערכים הראשונים.

[1]



משפט:

אם סדרה היא מונוטונית וחסומה אזי הסדרה מתכנסת


הוכחה: נניח בלי הגבלת הכלליות כי סדרה מונוטונית עולה. נסמן את הסופרמום של הסדרה ב-, ונוכיח כי הסדרה מתכנסת אליו. מהגדרת הסופרמום נובע כי . בנוסף מכיוון שהסדרה מונוטונית עולה מתקיים . נזכור גם כי הוא הסופרמום ולכן . משילוב התוצאות נקבל ובסך הכל כנדרש.




משפט:

אם הסדרה חסומה והסדרה מתכנסת לאפס אזי .


הוכחה:




- משפטים בסיסיים -


  1. ^ המשפט לא עובד בכיוון ההפוך, כלומר סדרה חסומה לא בהכרח מתכנסת, למשל הסדרה - חסומה מלעיל על ידי וחסומה מלרע על ידי אבל איננה מתכנסת לגבול. (ראינו הוכחה דומה עבור הסדרה ).