מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף
משני |
|||
שורה 1: | שורה 1: | ||
{{עריכה|סיבה=יש לפצל את הנושאים, תרגול, הרחבת הגדרת הפונקציה}} |
|||
==מהי פונקציה?== |
==מהי פונקציה?== |
||
פונקציה המבטא את היחס שיש בין <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math>. למשל: <math>\ y = x+2 </math> הינה פונקציה שהקשר בין X ל-Y הוא, ש-y גדול מ-x ב-2. <br /> |
פונקציה המבטא את היחס שיש בין <math>\ x </math> לבין <math>\ y </math>. למשל: <math>\ y = x+2 </math> הינה פונקציה שהקשר בין X ל-Y הוא, ש-y גדול מ-x ב-2. <br /> |
||
שורה 7: | שורה 8: | ||
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הצגה גרפית של פונקציה|הצגה גרפית של פונקציה]] - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים. |
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הצגה גרפית של פונקציה|הצגה גרפית של פונקציה]] - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים. |
||
==מקור תמונה== |
|||
{{להשלים}} |
|||
==מתי אין פונקציה?== |
==מתי אין פונקציה?== |
||
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|על פי הגדרת הפונקציה]] , פונקציה אשר ל-X שלה (תחום) יש שתי הגדרות שונות (שתי נקודות Y), היא אינה פונקציה. |
[[מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|על פי הגדרת הפונקציה]] , פונקציה אשר ל-X שלה (תחום) יש שתי הגדרות שונות (שתי נקודות Y), היא אינה פונקציה. |
||
שורה 29: | שורה 32: | ||
* הצבת ערכי B בפונקציה נותן : <math>10=2+2</math> כיוון שהמשוואה היא פסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה. |
* הצבת ערכי B בפונקציה נותן : <math>10=2+2</math> כיוון שהמשוואה היא פסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה. |
||
* Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. <math>2=X+2</math>. לאחר [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/משוואות ממעלה ראשונה עם פרמטרים|סידור אגפים]], אנו מגלים כי Xc=0. |
* Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. <math>2=X+2</math>. לאחר [[מתמטיקה תיכונית/אלגברה/משוואות ממעלה ראשונה עם פרמטרים|סידור אגפים]], אנו מגלים כי Xc=0. |
||
==חקירת פונקציה== |
|||
כאשר אנו רוצים לאייר פונקציה עלינו לחקור אותה. במהלך החקירה אנו נבדוק את המאפיינים הבאים : |
|||
# תחום הגדרה - |
|||
# תחומי עליה ירידה |
|||
# נקודות חיתוך עם הצירים |
|||
#נקודות קיצון ופיתול. |
|||
#אסיפטוטות |
|||
==סוגים של פונקציות== |
==סוגים של פונקציות== |
גרסה מ־20:43, 31 במרץ 2010
מהי פונקציה?
פונקציה המבטא את היחס שיש בין לבין . למשל: הינה פונקציה שהקשר בין X ל-Y הוא, ש-y גדול מ-x ב-2.
אולם, אין אומר שכל יחס בין X ל-Y יהיה פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.
הגדרת הפונקציה : עבור כל ערך של X ישנו משתנה אחד בלבד של Y. כלומר, לא יהיו שתי הגדרות של Y שונות בערכן עבור אותו X.
הצגה גרפית של פונקציה - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים.
מקור תמונה
פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.
מתי אין פונקציה?
על פי הגדרת הפונקציה , פונקציה אשר ל-X שלה (תחום) יש שתי הגדרות שונות (שתי נקודות Y), היא אינה פונקציה.
בגרף, הדבר בא לידי ביטוי יש ישר העובר דרך נקודה X ומקביל לציר Y (עבור אותו X, יש הרבה Y).
נקודה על הפונקציה
כל נקודה הנמצאת על פונקציה חייבת לקיים את המשוואה שלה. כלומר, אם נתונה פונקציה אנו ונקודות אנו יכולים לבצע 2 פעולות :
- האם הנקודה נמצאת על הפונקציה - הצבה במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : 0=0.
- מציאת ערכי הנקודה - אם נתון לנו רק X של הנקודה ואנו יודעים בוודאות שהיא על פונקציה, נוכל להציב את X במשוואה ולגלות את y.
דוגמא
למשל, אם נתונה הפונקציה והנקודות:
- (2,4)A
- (2,10)B
- (X,2)C - נמצאת על הפונקציה.
אז :
- הצבת ערכי בפונקציה נותן : A כיוון שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה.
- הצבת ערכי B בפונקציה נותן : כיוון שהמשוואה היא פסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה.
- Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. . לאחר סידור אגפים, אנו מגלים כי Xc=0.
חקירת פונקציה
כאשר אנו רוצים לאייר פונקציה עלינו לחקור אותה. במהלך החקירה אנו נבדוק את המאפיינים הבאים :
- תחום הגדרה -
- תחומי עליה ירידה
- נקודות חיתוך עם הצירים
- נקודות קיצון ופיתול.
- אסיפטוטות
סוגים של פונקציות
קיים מגוון רחב של סוגים של פונקציות. במהלך הספר תכירו (נחקור) חלק מהפונקציות הקיימות ותלמדו את תכונותהן. רשימת הפונקציות שנלמדות בכרך :
- פונקציה לינארית/ישרה/קווית - הפונקציה הפשוטה ביותר.
- פונקציה ריבועית - פונקציה ממעלה שנייה.
- פונקציה הערך המוחלט
- פונקציה זוגית ואי זוגית
- פונקצית הפולינום
- פונקציה רציונלית
- פונקצית השורש הריבועי
- פונקציה סתומה
- פונקציה טריגונומטרית
- פונקציה עם פרמטרים - פונקציה עם נעלים.
סימוני הפונקציה
פונקציה פשוטה
פונקציה פשוטה, מסומנת כך: , למשל: .
קיימות שתי תבניות אפשריות :
- פונקציה מפורשת - פונקציה בה הנעלם y מבודד. כמו למשל : , וכדומה.
- פונקציה סתומה - פונקציב שבה הנעלם y אינו מבודד. כמו למשל : , וכדומה.
פונקציה מורכבת
בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום y, את האות באנגלית המייצגת פונקציה (function) ; f, בתוספת סוגרים שבתוכן X. כלומר, .
.
לפעמים קורים מקרים בהן אנו חוקרים יותר מפונקציה אחת, ולכן, אנו נעזר באותיות הבאות ל-g (f,g,h...t), שירשמו באופן זהה : אות, סוגרים ובתוכן X. ניתן להחליף את f בכל אות או מילה שרוצים, מאחר ומדובר בסימון בלבד.
דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: וכולי. למספר הרשום בקטן קוראים "האינדקס של f".
ערכי X ו-Y
כאמור, בכדי לגלות את ערך Y, נציב את X ונגלה את ערך Y ע"פ היחס הנתון.
בפונקציה פשוטה, בכדי לגלות את ערכי y, אנו חייבים לרשום "נציב ב- את הערך 1", אחרת הפעולה/דרך הפתרון לא תהיה ברורה למתבונן.
לעומת זאת, בעזרת צורת הסימון השנייה ניתן לסמן זאת באופן הבא: .
פרמטרים (=נעלמים)
דוגמא לפונקציה עם פרמטרים : .
מה יכול להופיע בנעלם?
- מקדמים - כידוע לכל נעלם קיים מקדם. למשל, המקדם של 2x הוא 2, המקדם של y הוא 1, וכן הלאה. לפעמים, יהיו תרגלים בהן יופיעו המקדמים כפרמטרים. בדוגמא : a.
- מקדם חופשי -כל המספרים הנלווים למשוואת הפונקציה שאינם נכפלים בנעלמים. במקרה שלנו : t.
במהלך הספר נחקור פונקציות, שהנן משוואות עם פרמטרים, ונגלה את הפרמטרים בדרכים שונות.