מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה

מהי פונקציה?

פונקציה המבטא את היחס שיש בין $\ x$ לבין $\ y$. למשל: $\ y=x+2$ הינה פונקציה שהקשר בין X ל-Y הוא, ש-y גדול מ-x ב-2.
אולם, אין אומר שכל יחס בין X ל-Y יהיה פונקציה. על מנת שיחס זה יהיה פונקציה יש לקיים את הגדרת הפונקציה.

הגדרת הפונקציה : עבור כל ערך של X ישנו משתנה אחד בלבד של Y. כלומר, לא יהיו שתי הגדרות של Y שונות בערכן עבור אותו X.

הצגה גרפית של פונקציה - כל פונקציה ניתן לתאר על מערכת צירים.

מתי אין פונקציה?

על פי הגדרת הפונקציה , פונקציה אשר ל-X שלה (תחום) יש שתי הגדרות שונות (שתי נקודות Y), היא אינה פונקציה.

ל-$X_{3}$ יש שתי טווחים/תמונות ולכן ההתאמה המתוארת אינה התאמה של פונקציה.

בגרף, הדבר בא לידי ביטוי יש ישר העובר דרך נקודה X ומקביל לציר Y (עבור אותו X, יש הרבה Y).

נקודה על הפונקציה

כל נקודה הנמצאת על פונקציה חייבת לקיים את המשוואה שלה. כלומר, אם נתונה פונקציה אנו ונקודות אנו יכולים לבצע 2 פעולות :

1. האם הנקודה נמצאת על הפונקציה - הצבה במשוואה ובדיקה האם מתקבלת התוצאה : 0=0.
2. מציאת ערכי הנקודה - אם נתון לנו רק X של הנקודה ואנו יודעים בוודאות שהיא על פונקציה, נוכל להציב את X במשוואה ולגלות את y.

דוגמא

למשל, אם נתונה הפונקציה $y=x+2$ והנקודות:

• (2,4)A
• (2,10)B
• (X,2)C - נמצאת על הפונקציה.

אז :

• הצבת ערכי בפונקציה נותן : A $4=2+2$ כיוון שהמשוואה היא פסוק אמת, A נמצאת על הפונקציה.
• הצבת ערכי B בפונקציה נותן : $10=2+2$ כיוון שהמשוואה היאפסוק שקר, B אינה נמצאת על הפונקציה - B אינה מקיימת את משוואת הפונקציה.
• Yc = 2. C נמצאת על הפונקציה, לכן הצבה בפונקציה תגלה לנו את ערכי X. $2=X+2$. לאחר סידור אגפים, אנו מגלים כי Xc=0.

סוגים של פונקציות

קיים מגוון רחב של סוגים של פונקציות. במהלך הספר תכירו (נחקור) חלק מהפונקציות הקיימות ותלמדו את תכונותהן. רשימת הפונקציות שנלמדות בכרך :

1. פונקציה לינארית/ישרה/קווית - הפונקציה הפשוטה ביותר.
2. פונקציה ריבועית - פונקציה ממעלה שנייה.
3. פונקציה הערך המוחלט
4. פונקציה זוגית ואי זוגית
5. פונקצית הפולינום
6. פונקציה רציונלית
7. פונקצית השורש הריבועי
8. פונקציה סתומה
9. פונקציה טריגונומטרית
10. פונקציה עם פרמטרים - פונקציה עם נעלים.

סימוני הפונקציה

פונקציה פשוטה

פונקציה פשוטה, מסומנת כך: $\ y=f\left(x\right)$, למשל: $\ y=5x+3$.

קיימות שתי תבניות אפשריות :

1. פונקציה מפורשת - פונקציה בה הנעלם y מבודד. כמו למשל : $y=2x^{2}+3$, $y=6x+5$ וכדומה.
2. פונקציה סתומה - פונקציב שבה הנעלם y אינו מבודד. כמו למשל : $yx=5$, $x^{3}+y^{7}+3=0$ וכדומה.

פונקציה מורכבת

בדרך כלל, בפונקציות מורכבות יותר, נהוג לרשום במקום y, את האות באנגלית המייצגת פונקציה (function) ; f, בתוספת סוגרים שבתוכן X. כלומר, $\ y=f(x)$.
.
לפעמים קורים מקרים בהן אנו חוקרים יותר מפונקציה אחת, ולכן, אנו נעזר באותיות הבאות ל-g (f,g,h...t), שירשמו באופן זהה : אות, סוגרים ובתוכן X. ניתן להחליף את f בכל אות או מילה שרוצים, מאחר ומדובר בסימון בלבד. דרך נוספת מקובלת, היא להוסיף מספר לפונקציה, הרשום בקטן ליד שמה: $\ f_{1}(x),f_{2}(x),f_{3}(x)$ וכולי. למספר הרשום בקטן קוראים "האינדקס של f".

ערכי X ו-Y

כאמור, בכדי לגלות את ערך Y, נציב את X ונגלה את ערך Y ע"פ היחס הנתון.

בפונקציה פשוטה, בכדי לגלות את ערכי y, אנו חייבים לרשום "נציב ב- $\ x$ את הערך 1", אחרת הפעולה/דרך הפתרון לא תהיה ברורה למתבונן.

לעומת זאת, בעזרת צורת הסימון השנייה ניתן לסמן זאת באופן הבא: $\ f(1)$.

פרמטרים (=נעלמים)

דוגמא לפונקציה עם פרמטרים : $\ f\left(x,y,z,t\right)=ax+t$.

מה יכול להופיע בנעלם?

• מקדמים - כידוע לכל נעלם קיים מקדם. למשל, המקדם של 2x הוא 2, המקדם של y הוא 1, וכן הלאה. לפעמים, יהיו תרגלים בהן יופיעו המקדמים כפרמטרים. בדוגמא : a.
• מקדם חופשי -כל המספרים הנלווים למשוואת הפונקציה שאינם נכפלים בנעלמים. במקרה שלנו : t.

במהלך הספר נחקור פונקציות, שהנן משוואות עם פרמטרים, ונגלה את הפרמטרים בדרכים שונות.