מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עליה וירידה: הבדלים בין גרסאות בדף

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מ
הרחבה, עריכה
 
מ (הרחבה, עריכה)
==הקדמה==
{{עריכה}}
כעת, אחרי שאנחנו יודעים למצוא [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]], פשוט מאוד למצוא מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת. כל שעלינו לעשות הוא לבחון את התנהגות הפונקציה בין שתי נקודות קיצון (או בין <brmath> -\infty</math> עד נקודת הקיצון הראשונה ומנקודת הקיצון האחרונה עד <math>\infty</math>) בנפרד, ולבדוק אם הוא מהווה עליה או ירידיה.
ביודענו כי נקודות הקיצון הן מעבר מעליה לירידה, פשוט עלינו לבחון כל חלק מהפונקציה אשר בין כל 2 נקודות קיצון (או בין מינוס אינסוף עד נקודת הקציון הראשונה ומנקודת הקיצון האחרונה עד אינסוף) בנפרד, ולבדוק אם הוא מהווה עליה או ירידיה.
 
==חזרה - התנהגות הפונקציה ביחס ל[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|נגזרת]]==
אז איך עושים את זה? נעשה זאת בשלבים:
נחזור בשנית ונסביר לעמוק על הנושא שהוסבר בפרק [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה|הנגזרת]] ויושם בפרק [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודת קיצון]]. אולם, הנושא מורחב בפרק [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת|הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת]], אך, עדין רצוי לקרואו בכדי להקל על הלמידה בהמשך.
*נמצא את ערכי הx של נקודות הקיצון של הפונקציה בשיטה המתוארת לעיל.
 
*נסדר את ערכי הx לפי סדר עולה. נניח כי נקודת הקיצון הראשונה היא <math> \ x_1</math>, השניה <math> \ x_2</math>, וכן האלה עד הנקודה האחרונה <math> \ x_n</math>.
הנגזרת עוזרת לנו לגלות את התנהגות הפונקציה ; כאשר :
*נחלק את ציר המספרים ל<math> \ n + 1</math> חלקים - ממינוס אינסוף עד ל<math> \ x_1</math>, מ<math> \ x_1</math> עד ל<math> \ x_2</math>, מ<math> \ x_2</math> עד <math> \ x_3</math>, וכן האלה... 2 החלקים האחרונים יהיו מ <math> \ x_{n-1}</math> עד <math> \ x_n</math> ומ<math> \ x_n</math> עד אינסוף.
# ערכי הנגזרת ('''<math>y'</math>''') חיובים - הפונקציה עולה.
*נבדוק עבור כל נקודת קיצון, אם היא נקודת מינימום, או מקסימום עפ"י השיטה שלמדנו.
# ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
*אם נקודה היא נקודת מינימום, כלומר שהפונקציה עוברת מירידה לעלייה, אם מקסימום, אז היא עוברת מעלייה לירידה. כלומר, כל שעלינו לעשות, הוא לבדוק עבור כל חלק וחלק מציר המספרים שחילקנו, אם נקודת הקיצון שבסופו היא מינימום או מקסימום, אם הנקודה היא מינימום כלומר שכל הטווח שבין נקודת הקיצון הקודמת לזו, הוא טווח של ירידה. ואם הנקודה היא נקודת מקסימום, כלומר שכל הטווח שבין הנקודה הקודמת אליה הוא עלייה.
# ערכי הנגזרת שווים לאפס - נקודת קיצון של הפונקציה.
**במקרה של נקודת הקיצון האחרונה, פשוט מאוד בודקים אם היא מינימום או מקסימום, אם היא מקסימום, אז כל הטווח שממנה עד אינוסף הוא ירידה. אם מינימום אז עלייה.
 
===התנהגות הפונקציה ביחס לנגזרת הראשונה===
רעיון זה מיושם בטבלה (דרך א') לגילוי [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|סוג נקודת הקיצון]]; כאשר לקחנו שתי נקודות (לפני ואחרי) הנקודה החשודה, בכדי לזהות את התנהגות הפונקציה - האם היא עולה (תוצאת הנגזרת חיובית) או יורדת (תוצאת הנגזרת שלילית)?
 
===התנהגות הפונקציה ביחס לנגזרת השנייה===
גם, בדרך השנייה (גזירה שנייה), הרעיון בה לידי ביטוי, אולם, הוא בודק את התנהגות '''הנגזרת השנייה''' ביחס לפונקציה. גילנו שהיחס בין הנגזרת השנייה לפונקציה הוא הפוך, כלומר :
# חיובית - הפונקציה יורדת.
# שלילית - הפונקציה עולה.
# אפס - נקודת פיתול. נלמד בהמשך בפרק [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת|הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת]]
ולכן, כאשר קיבלנו :
# תוצאה שלילית - הנקודה הייתה נקודת מקסימום.
# תוצאה חיובית - הנקודה הייתה נקודת מינמום.
 
==הסבר==
הנגזרת עוזרת לנו לגלות את התנהגות הפונקציה; בכדי לדעת מתי הפונקציה עולה ומתי היא יורדת, נציב מספרים בנגזרת. כאשר :
# ערכי הנגזרת ('''<math>y'</math>''') חיובים - הפונקציה עולה.
# ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
# ערכי הנגזרת שווים לאפס - נקודת קיצון של הפונקציה.
 
בכדי שלא נציב סתם מספרים (אפשר להציב את כל המספרים האפשריים), אנו נעזרים ב[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|נקודות קיצון]] שהן הנם נקודות המהוות מעבר מעליה לירידה או בין ירידה לעליה.
 
==שלבים==
השלבים יהיו זהים לשלבים שהצגנו בפרק [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון מקומיות|מציאת נקודות קיצון]] - דרך א' :
* גזירת הפונקציה.
* השוואת הנגזרת לאפס ומציאת ערכי ה-X של נקודות הקיצון.
* שימוש בטבלה :
** נסדר את ערכי ה-x לפי סדר עולה.
** נוסיף מספרים לפני ואחריה הנקודות החשודות.
**נציב הנגזרת את המספרים הנבחרים. כאשר :
*** ערכי הנגזרת ('''<math>y'</math>''') חיובים - הפונקציה עולה.
*** ערכי הנגזרת שלילים - הפונקציה יורדת.
*נרשום מי הן מבין הנקודות הן נקודות מינימום ומי הן נקודות מקסימום :
** אם נקודה היא נקודת מינימום - הפונקציה עוברת מירידה לעלייה. כלומר, שכל הטווח שבין הנקודה הקודמת אליה הוא עלייה.
** אם נקודה היא נקודת מקסימום - הפונקציה עוברת מעלייה לירידה. כלומר, כל הטווח שבין נקודת הקיצון הקודמת לזו, הוא טווח של ירידה.
**במקרה של נקודת קיצון אחרונה או ראשונה - הטווח הוא בין אינסוף לערך Xשל נקודת הקיצון (קשה לתאר במילים - ראה סעיף אחרון בדוגמא).
 
=== דוגמאות ===
מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה <math> \ f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x + 7</math>?
 
מהם תחומי העלייה והירידה של הפונקציה <math> \ f(x) = x^3 + 9x^2 + 15x + 7</math>.
נפתור את התרגיל בשלבים:
* הנגזרת : <math>f(x)'=3x^2+18x+15 = 0</math>
*ראשית נמצא את ערכי הx של נקודות הקיצון. הדרך לא תפורט כאן, שכן זהו אינו הנושא.
* פתירה (באמצעות [[טרינום]]) : <math>f(x)'=(x+1)(x+5)</math>
*קיבלנו את 2 ערכי האיקס - <math> \ -1</math> ו <math> \ -5</math>.
* פתרונות :
*נסדר אותם על פי הסדר בציר המספרים, ונחלק את ציר המספרים ל3 חלקים.
** <math>\ x=-1</math>
*קיבלנו את שלושת החלקים הבאים: טווח ראשון - <math> \ - \infty < x < -5</math>, טווח שני - <math> \ -5 < x < -1</math>, וטווח אחרון - <math> \ -1 < x < \infty </math>.
** <math>\ x=-5</math>.
*נבדוק עבור כל ערך של x אם זוהי נקודת מינימום או מקסימום (הדרך לא תפורט, הסבר נכתב למעלה).
*נסדר אותם על פי הסדר בציר המספרים, ונחלק את ציר המספרים ל-3 חלקים.
*קיבלנו שהנקודה שבה <math> \ x = -5</math> היא נקודת מקסימום, כלומר שכל מה שלפניה הוא עלייה - הטווח הראשון (מאינסוף עד למינוס חמש) הוא תחום עליה של הפונקציה. לאחר מכן בודקים ממשיכים, ומקבלים כי הנקודה שבה <math> \ x = -1</math> היא נקודת מינימום, כלומר שכל החלק שבינה לבין הנקודה הקודמת (מינוס חמש) הוא תחום ירידה, וממנה והאלה, עד אינסוף, התחום הוא תחום עלייה.
 
*** ניתן גם במקום לבדוק אם <math> \ -1</math> פשוט לבדוק את הנקודה הראשונה (<math> \ -5</math> במקרה הזוה), על-פיה לכתוב אם התחום הראשון הוא עלייה או ירידה, ולאחר מכן לכתוב פשוט לסירוגין, פעם ירידה, ופעם עלייה. שכן, לא יכולות להיות 2 נקודות מקסימום או מינימום ברצף, כי אז הנקודה הראשונה מבניהן לא היתה מינימום (/מקסימום). בכל אופן, השיטה לא מומלצת, כי תמיד ישנם מקרים יוצאי דופן, למשל מקרה בו נקודה שחשבנו שהיא נקודת קיצון, היא בכלל נקודת פיתול (הסבר בהמשך), על כן, מומלצת הדרך הארוכה במקצת.
{| class="wikitable" border="1"
*נכתוב את התשובה שקיבלנו:
! תא
**תחומי העלייה של הפונקציה הם <math> \ - \infty < x < -5</math> ו- <math> \ -1 < x < \infty </math><ref>ניתן לכתוב בקצרה פשוט <math> \ x < -5 </math> ו <math> \ x > -1</math>.</ref>
! -1
**תחום הירידה של הפונקציה הוא <math> \ -5 < x < -1</math>.
! תא
*סיימנו את התרגיל !
! -5
! תא
! X
|-
| תא
| נקודה חשודה
| תא
| נקודה חשודה
| תא
! Y
|-
|תא
|0
| תא
|0
| תא
! Y'
|}
 
* נציב מספרים לפני ואחרי הנקודות החשודות נבדוק נגזרת :
{| class="wikitable" border="1"
! 0
! -1
! -2
! -5
! -6
! X
|-
| פונקציה עולה
| נקודת קיצון min
| פונקציה יורדת
| נקודת קיצון max
| פונקציה עולה
! Y
|-
| +
|0
| -
|0
| +
! Y'
|}
 
*נקבע את התנהגות הפונקציה - קיבלנו את שלושת החלקים הבאים:
** טווח ראשון - <math> \ - \infty < x < -5</math>. נרשם גם : <math>x<-5</math>
** טווח שני - <math> \ -5 < x < -1</math>
** טווח אחרון - <math> \ -1 < x < \infty </math>. נרשם גם : <math>X>-1</math>
 
'''הפתרון :'''
* תחומי העלייה של הפונקציה : <math> \ - \infty < x < -5</math> ו-<math> \ -1 < x < \infty </math>
ניתן לכתוב בקצרה פשוט <math> \ x < -5 </math> ו<math> \ x > -1</math>.
* תחום הירידה של הפונקציה : <math> \ -5 < x < -1</math>.
 
[[קטגוריה : מתמטיקה לבגרות]]

תפריט ניווט