חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/קבוצות חסומות: הבדלים בין גרסאות בדף
שורה 40: | שורה 40: | ||
* הערה: אם יש ל-<math>\ A </math> מספר סופי של איברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום. |
* הערה: אם יש ל-<math>\ A </math> מספר סופי של איברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום. |
||
==דוגמא חשובה== |
|||
==נושא 2== |
|||
<math>\ ? </math> <u>שאלה</u>: האם לכל קבוצה <math>\ A </math> החסומה מלעיל יש סופרמום?</br> |
|||
<u>תשובה</u>: תלוי (ותיכף נראה במה)</br> |
|||
*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>, התשובה היא לא.</br> |
|||
*אם אנחנו נמצאים בתוך <math>\ \mathbb{R} </math>, התשובה היא כן, תמיד!</br> |
|||
<u>דוגמה חשובה מאוד</u>: נתבונן בקבוצה הבאה: <math>\ A= \left\{ x\in\mathbb{Q} |x^2<2 \right\} </math> </br> |
|||
כעת, נשאל לגבי הקבוצה הזו: האם קיים לה סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>?</br> |
|||
<u>טענה</u>: לקבוצה <math>\ A </math> הנ"ל אין סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math></br>. |
|||
<u>הוכחה</u>: נניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו באות <math>\ M </math>. כלומר: <math>\ M=\sup \left\{ A \right\} </math>.</br> |
|||
בהכרח <math>\ M\ne\sqrt{2} </math> (משום ש- <math>\ M\in\mathbb{Q} </math>, וראינו מקודם ש- <math>\ \sqrt{2}\not\in\mathbb{Q} </math>). לכן, קיימות שתי אפשרויות:</br> |
|||
א) <math>\ M>\sqrt{2} </math>: לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן, בין <math>\ M </math> ובין <math>\ \sqrt{2} </math> יש מספר רציונלי כלשהו, נסמנו <math>\ M_1 </math>.</br> |
|||
[[תמונה:P5fst.jpg|תמונה להמחשה: גבולות הקבוצה A וחסמיה]] |
|||
כעת: לכל <math>\ x\in A </math>, מתקיים ש- <math>\ M_1>x </math> |
|||
<math>\ M_1 \Leftarrow </math> חסם מלעיל <math>\ M \Leftarrow </math> אינו סופרמום! (כי יש חסם מלעיל הקטן ממנו) <math>\ \Leftarrow </math> סתירה להנחה ש- <math>\ M>\sqrt{2} </math> <math>\ M\le \sqrt{2} \Leftarrow</math>. אבל, כבר אמרנו שבהכרח <math>\ M\ne\sqrt{2} </math> |
|||
<math>\ M<\sqrt{2} \Leftarrow </math>.</br> |
|||
ב) <math>\ M<\sqrt{2} </math>: לפי אותו משפט כנ"ל, יש בין <math>\ M </math> לבין <math>\ \sqrt{2} </math> מספר רציונלי <math>\ M_2 </math>, ומתקיים: <math>\ M<M_2<\sqrt{2} </math>. לכן, <math>\ M_2\in A </math> (כי: <math>\ M<\sqrt{2} </math> |
|||
<math>\ \left( M_2 \right) ^2 <2 \ \ \Leftarrow </math>) <math>\ M \ \Leftarrow</math> אינו חסם עליון כלל! (כי יש איבר בקבוצה שגדול ממנו). |
|||
</br><u>מסקנה</u>: אין לקבוצה <math>\ A </math> הנ"ל סופרמום בתוך <math>\ \mathbb{Q} </math>, והטענה הוכחה.▪ |
|||
==נושא 3== |
==נושא 3== |
||
גרסה מ־15:03, 30 באוגוסט 2005
הנושא הקודם בתורת הקבוצות: בר מניה ולא בר מניה
הגדרות ודוגמאות
הגדרה: תהא . נגיד שהקבוצה חסומה מלעיל (Bounded above) אם קיים מספר כך שלכל , מתקיים: .
קל לראות, על פי ההגדרה, ש- אינו יחיד (כי: יהא מספר המקיים את התנאי. אז כל מספר הגדול מ- יקיים את התנאי אף הוא).
כל המקיים את התנאי הנ"ל נקרא חסם מלעיל (upper bound).
הגדרה: תהא . נגיד שהקבוצה חסומה מלרע אם קיים מספר כך שלכל , מתקיים: .
ושוב קל לראות, על פי ההגדרה, ש- אינו יחיד.
כל המקיים את התנאי הנ"ל נקרא חסם מלרע.
דוגמאות:
1. חסומה מלרע - כל הוא חסם מלרע.
לעומת זאת, הקבוצה אינה חסומה מלעיל.
2. :
- קיים חסם מלעיל בתוך (שהוא, כמובן, המספר ). פרט לכך, קיימים, כמובן, אינסוף חסמי מלעיל נוספים!
- קיים חסם מלרע , אך הוא אינו בתוך (קיימים, כמובן, נוספים, שגם אף אחד מהם אינו נמצא בתוך הקבוצה ).
3. חסומה מלעיל (למשל: ע"י ) ומלרע (למשל: ע"י ).
הגדרה: קבוצה תקרא חסומה אם היא חסומה גם מלעיל וגם מלרע.
הגדרה: נתונה , קבוצה החסומה מלעיל ב- .
המספר יקרא החסם העליון הקטן ביותר (לפעמים פשוט "החסם העליון") או סופרמום של , אם מתקיים:
1) חסם מלעיל של .
2) אין חסם מלעיל אחר של שקטן ממש מ-.
(במילים אחרות, אם חסם מלעיל של אף הוא, אז מתקיים: ).
ניסוח אחר: .
סימון: .
דוגמה: . בשני המקרים, הוא החסם העליון.
נגדיר כעת חסם תחתון גדול ביותר או אינפימום (infimum):
המספר יקרא החסם התחתון הגדול ביותר (לפעמים פשוט "החסם התחתון") או אינפימום של , אם מתקיים:
1) חסם מלרע של .
2) אין חסם מלרע של הגדול מ-.
סימון: .
- הערה: ניתן להגדיר אינפימום ע"י סופרמום, באופן הבא: , כאשר מגדירים: .
הגדרה:
- נתונה קבוצה החסומה מלעיל ע"י , כלומר . אם , אז נגיד ש- הוא המקסימום של , ונכתוב: .
- נתונה קבוצה החסומה מלרע ע"י , כלומר . אם , נגיד ש- הוא המינימום של , ונכתוב: .
- הערה: אם יש ל- מספר סופי של איברים, אז יש לה הן מקסימום והן מינימום.
דוגמא חשובה
שאלה: האם לכל קבוצה החסומה מלעיל יש סופרמום?
תשובה: תלוי (ותיכף נראה במה)
- אם אנחנו נמצאים בתוך , התשובה היא לא.
- אם אנחנו נמצאים בתוך , התשובה היא כן, תמיד!
דוגמה חשובה מאוד: נתבונן בקבוצה הבאה:
כעת, נשאל לגבי הקבוצה הזו: האם קיים לה סופרמום בתוך ?
טענה: לקבוצה הנ"ל אין סופרמום בתוך
.
הוכחה: נניח בשלילה שקיים כזה, ונסמנו באות . כלומר: .
בהכרח (משום ש- , וראינו מקודם ש- ). לכן, קיימות שתי אפשרויות:
א) : לפי המשפט שהוכחנו, בין כל שני מספרים קיים מספר רציונלי. לכן, בין ובין יש מספר רציונלי כלשהו, נסמנו .
כעת: לכל , מתקיים ש-
חסם מלעיל אינו סופרמום! (כי יש חסם מלעיל הקטן ממנו) סתירה להנחה ש- . אבל, כבר אמרנו שבהכרח
.
ב) : לפי אותו משפט כנ"ל, יש בין לבין מספר רציונלי , ומתקיים: . לכן, (כי:
) אינו חסם עליון כלל! (כי יש איבר בקבוצה שגדול ממנו).
מסקנה: אין לקבוצה הנ"ל סופרמום בתוך , והטענה הוכחה.▪
נושא 3
וזהו, סיימנו את פרק המבוא!!! אתם מוזמנים להיכנס לתרגילים בנושא, על מנת לתרגל את החומר.