מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ריבועית: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
הרחבה
שורה 15: שורה 15:
# שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.
# שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.


==[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]==
==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/תחום הגדרה|תחום הגדרה]]==
# <math>a\ne 0</math> - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.
# <math>a\ne 0</math> - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.


שורה 39: שורה 39:
#* אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.
#* אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.


==[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]==
==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/תחום שלילי וחיובי|תחום שלילי וחיובי]]==
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]]
[[קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר|left|thumb|60px|כיתוב תמונה]]
# רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
# רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
שורה 46: שורה 46:
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
# מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
# שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
# שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
# קביעת תחום - סימון ה[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] הנדרש :
# קביעת תחום - סימון ה[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי|תחום]] הנדרש :
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מעל ציר X -''' [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] חיובי.
#* '''מתחת ציר Y -''' [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.
#* '''מתחת ציר Y -''' [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]] שלילי.


===סימונים===
===סימונים===
נזכיר כיצד מסמנים [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]].<br />
נזכיר כיצד מסמנים [[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/מושגי יסוד|תחום]].<br />
'''ההתבנית המשותפת :''' {X|התחום}.<br />
'''ההתבנית המשותפת :''' {X|התחום}.<br />
'''סוגי סוגרים :'''
'''סוגי סוגרים :'''
שורה 58: שורה 58:
# [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.
# [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.


==[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון|נקדת הקיצון]]/קודקוד הפרבולה/מוקד==
==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות קיצון|נקדת הקיצון]]/קודקוד הפרבולה/מוקד==
===דרך א'===
===דרך א'===
====ערך הנקודה====
====ערך הנקודה====
שורה 76: שורה 76:
# סימון מקסימום מינמום על הגרף.
# סימון מקסימום מינמום על הגרף.


==[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]==
==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/נקודות פיתול|נקודות פיתול]]==
לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.
לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.


==[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה]]==
==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/תחומי עלייה וירידה|תחומי עלייה וירידה]]==
שתי דרכים :
שתי דרכים :
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
# ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
שורה 86: שורה 86:
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>.
#* פרבולה הפוכה - יורדת כאשר <math>X>\frac{-b}{2a}</math> ועולה כאשר <math>X<\frac{-b}{2a}</math>.


==[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסיפטוטות]]==
==[[מתמטיקה לבגרות/חשבון דיפרנציאלי/אסיפטוטות|אסיפטוטות]]==
אין.
אין.

==תיאור גרפי==
===ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר===
[[קובץ:Parabolas.JPG|מרכז|thumb|250px|ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר.]]

===פרבולה + c===
[[קובץ:Parabolas + c.JPG|מרכז|thumb|250px|
# כאשר K חיובי הפרבולה עולה – מעלה את ערך Y.
# כאשר K שלילי הפרבולה יורדת – מוריד את ערך Y.]]

===פרבולה המבוטאות באמצעות כפל מקוצר===
מדובר על פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר,
<math>y=(ax\pm b)</math>.
* '''כאשר b חיובי –''' הפרבולה זזה לכיוון ימין.
* '''כאשר b שלילי – ''' הפרבולה זזה לכיוון שמאל.


[[קטגוריה : מתמטיקה לבגרות]]
[[קטגוריה : מתמטיקה לבגרות]]

גרסה מ־20:32, 21 במרץ 2009

רענון

בשאלון 005 חקרנו משוואה ריבועית. נזכיר כי משוואה ריבועית היא משוואה ממעלה שנייה שצורתה הכללית היא : , המייצגת פרבולה. אולם, גילנו גם כי נוסחת יכולה להציג משוואה לינארית, ולכן, במהלך חקירתנו בדקנו שני תנאים :

  1. כאשר הנוסחא מציגה פרבולה - מקדם ה- שונה מאפס ().
  2. כאשר הנוסחא מייצגת פונקציה ישרה/פונקציה ממעלה ראשונה - כיוון שהפונקציה ממעלה ראשונה (אין מספרים בריבוע) : .

לאחר מכן, חקרנו כל אחת מהפונקציות בנפרד והסקנו מסקנות עבור המשוואה הריבועית.
בניגוד לפרק בו חקרנו משוואה ריבועית, בפרק זה נחקור רק פונקציה ריבועית, ולכן, התנאי הבסיסי שלנו הוא ש.

תיאור הפונקציה

כאמור, פונקציה ריבועית, היא פונקציה שמקורה ממשואה ריבועית. 3 מרכיבים בולטים בה :

  1. קודקוד הפרבולה/מוקד.
  2. ישר הסימטריה של הפרבולה/ישר מנחה - זהו ישרה היוצא מקודקוד הפרבולה.
  3. שני ענפים סימטריים - יוצאים כל אחד מקודקוד הפרבולה וסימטרים לישר הסימטריה של הפרבולה.

תחום הגדרה

  1. - בכדי שפונקציה ריבועית תהיה פונקציה ריבועית, חייב להיות מספר בריבוע.

נקודות חיתוך עם הצירים

חיתוך עם ציר X

  1. בדיקה סוג הפרבולה ישרה או (a>0) הפוכה (a<0).
  2. הצבה y=0.
  3. מציאת ערכי X עבורם y=0 באמצעות טכניקות שונות כגון:
    • טרינום
    • פירוק לגורמים.
  4. 3 מצבים :
    • - 2 נקודות חיתוך עם ציר X.
    • - נקודת חיתוך אחת הנמצאת על ציר X.
    • - אין נקודות חיתוך עם ציר X.
  5. שרטוט ציר וסימון נקודות חיתוך.
  6. ציור הפרבולה ע"פ סוגה - ישרה (צורה : "מחייכת") או הפוכה (צורה: "עצובה").

חיתוך עם ציר Y

  1. הצבה X=0.
  2. פתירת המשוואה - קיימים 2 מצבים :
    • חיתוך עם ציר Y - פתרון יחיד.
    • אין חיתוך עם ציר Y - משוואה לא הגיונית, כמו למשל 0=2.

תחום שלילי וחיובי

קובץ:תמונה ובה סימון מעל ציר X ומתחת לציר
כיתוב תמונה
  1. רשימת אי שיוויון על פי הדרישה :
  2. מציאת נקודות חיתוך עם ציר X.
  3. שרטוט ציר, נקודות חיתוך וצורת פרבולה ("מחייכת" או "עצובה")
  4. קביעת תחום - סימון התחום הנדרש :

סימונים

נזכיר כיצד מסמנים תחום.
ההתבנית המשותפת : {X|התחום}.
סוגי סוגרים :

  1. () - לא כולל המספרים הרשומים (כלומר : >או<).
  2. [] - כולל המספרים הרשומים (כלומר : או )
  3. [)/(] - שילוב של שני הסוגרים ע"פ כולל או לא כולל.

נקדת הקיצון/קודקוד הפרבולה/מוקד

דרך א'

ערך הנקודה

שיעור X של קודקוד הפרבולה : .

שיעור Y של קודקוד הפרבולה :

סוג נקודת קיצון

  1. מינמום - a>0.
  2. מקסימום - a<0.

דרך ב'

מציאת נגזרת הפרבולה ע"פ כללי הגזירה. השלבים :

  1. גזירה.
  2. מציאת סוג הנקודה ע"פ גזירה שנייה או טבלה (3 מספרים : הנקודה עצמה, נקודה לפני ונקודה אחרי).
  3. סימון על גרף מיקום.
  4. סימון מקסימום מינמום על הגרף.

נקודות פיתול

לפונקציה ממעלה שנייה אין נקודות פיתול.

תחומי עלייה וירידה

שתי דרכים :

  1. ע"פ העין - שרטוט וציור נקודות קיצון.
  2. פתרית משוואה :
    • פרבולה ישרה - יורדת כאשר ועולה כאשר .
    • פרבולה הפוכה - יורדת כאשר ועולה כאשר .

אסיפטוטות

אין.

תיאור גרפי

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, הפרבולה צרה יותר

ככל שערך המוחלט של המקדם גדול יותר, כך הפרבולה צרה יותר.

פרבולה + c

# כאשר K חיובי הפרבולה עולה – מעלה את ערך Y. # כאשר K שלילי הפרבולה יורדת – מוריד את ערך Y.

פרבולה המבוטאות באמצעות כפל מקוצר

מדובר על פרבולות שמבוטאות באמצעות כפל מקוצר, כלומר, .

  • כאשר b חיובי – הפרבולה זזה לכיוון ימין.
  • כאשר b שלילי – הפרבולה זזה לכיוון שמאל.