מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה: הבדלים בין גרסאות בדף

עיון אינטראקטיבי בהיסטוריה

→ העריכה הקודמת העריכה הבאה ←

תוכן שנמחק תוכן שנוסף

חזותיקוד ויקי

בשורה

גרסה מ־16:12, 11 בינואר 2009

ה"בעיה" במציאת נגזרת

בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר משיקים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה. במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.

לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= ישר גבולי) שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק.

דוגמא

הגדרות

הפונקציה : $y=X^{2}$
A - נקודת ההשקה : (a,b). נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא (1,1).
B - נקודה שנייה : (X,y) - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). השאיפה שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין X ל-Y), הנקודה היא (x,x²).
השיפוע : $y={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

מציאת הנגזרת

מימן או משמאל? - נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל-A או משמאלה.
- אם הנקודה B מימן ל-A ערכי X שלה גדולים מ-1 (מערך X_A).
- אם הנקודה B משמאל ל-A ערכי ה-X שלה קטנים מ-1 (מערך X_A).
נזכיר : ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדוייק יותר.

X מימן :

0.9	0.8	0.7	X
1.9	1.8	1.7	$m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).

X משמאל :

1.1	1.2	1.3	X
2.1	2.2	2.3	$m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק

@@ שורה 1: / שורה 1: @@
-'''נגזרת -''' שיפוע ל[[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/הגדרת הפונקציה|פונקציה]] שאינה דווקא [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה ישרה|פונקציה ישרה/לינארית]] (y=mx+n). מסומנת :<math>f(X)'</math>.
-'''נקודת ההשקה -''' נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).
 ==ה"בעיה" במציאת נגזרת==
+[[קובץ:Linear function.JPG|right|thumb|100px| עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה]]
-[[קובץ:פונקציה ישרה|left|thumb|250px|חישוב M]]
+[[קובץ:Tangent as Secant Limit.svg|left|thumb|200px|בפרבולה ניתן להעביר מספר משיקים]]
-בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, שאר הפונקציה (נקח לדוגמא [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/פומקציה ריבועית|פונקציה ריבועית]] שהינה הפונקציה הפשוטה ביותר מבין הפונקציות). במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות (שהן [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/משיק|משיק]]) על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
+בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר משיקים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה.
+במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.
-[[קובץ:פונקציה ריבועית עם נקודות|left|thumb|250px|חישוב M שונים]]
-לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן הגדירו ''כיצד למצוא נגזרת''.
-עקב ה"בעיה" החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויקת''.
+לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= '''ישר גבולי''') שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''.
 ===דוגמא===
 ====הגדרות====
-[[קובץ:גרף של הפונקציה הנתונה בדוגמא|left|thumb|250px|כיתוב תמונה]]
+[[קובץ:Quadratic_function.JPG|left|thumb|150px|]]
 '''הפונקציה :''' <math>y=X^2</math> <br />
 '''A - נקודת ההשקה :''' (a,b). נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא (1,1).<br />
-'''B - נקודה שנייה :''' (X,y) - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). ה''<span style="color: BLUE;">שאיפה</span>'' שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה) הנקודה היא (x,x<sup>2</sup>)
+'''B - נקודה שנייה :''' (X,y) - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). ה''<span style="color: BLUE;">שאיפה</span>'' שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין X ל-Y), הנקודה היא (x,x<sup>2</sup>).
 <br />
 '''השיפוע : ''' <math>y=\frac{x^2-1}{x-1}</math>
@@ שורה 54: / שורה 49: @@
  |}
-שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).
+שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2) כיוון ש''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
-''ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק''
-==גבול (lim)==
-התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך X של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!<br />
-חישוב המתבצע באמצעות lim מקצר את כל הדרך.
-'''החישוב מתבצע כך :''' <math>lim M</math> ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע).
-===דוגמא===
-נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות lim. על פי הנתונים :<math>lim\frac{x^2-1}{x-1}</math>
-טענו כי אנו ''<span style="color: BLUE;">שואפים</span>'' שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-X<sub>A</sub> (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי X<sub>B</sub> שואף להיות X<sub>A</sub> (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-X<sub>A</sub> - רוצה להיות שווה X<sub>A</sub>). נרשום זאת כך :
-<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}</math>
-מעתה, אנו מתייחסים אל X<sub>B</sub> כשווה ל-X<sub>A</sub>.
-נפרק את הגבול לגורמים ונקבל :
-<math>lim_{x\to 1}\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1</math>
-כיוון שטענו כי Xa=Xb, נציב את X<sub>A</sub>=1 בגבול. <math>lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2</math>.
-מכאן, ששיפוע הפונקציה <math>f(x)=x^2</math> הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.
-==פונקציה גזירה==
-את נוסחא ה'''גבול''' פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-lim. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה [[מתמטיקה לבגרות/שאלון ו/חשבון דיפרנציאלי/רשימת נגזרות והוכחתן|רשימת נגזרות והוכחתן]].
-[[קטגוריה:מתמטיקה לבגרות]]