מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה

נגזרת - שיפוע לפונקציה שאינה דווקא פונקציה ישרה/לינארית (y=mx+n). מסומנת :$f(X)'$.

נקודת ההשקה - נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה כ : (a,b).

ה"בעיה" במציאת נגזרת

קובץ:פונקציה ישרה

חישוב M

בניגוד לפונקציה ישרה, לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, שאר הפונקציה (נקח לדוגמא פונקציה ריבועית שהינה הפונקציה הפשוטה ביותר מבין הפונקציות). במילים אחרות, בפונקציה ישרה, ניתן לקחת כל שתי נקודות (שהן משיק) על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.

קובץ:פונקציה ריבועית עם נקודות

חישוב M שונים

לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן הגדירו כיצד למצוא נגזרת.

עקב ה"בעיה" החליטו כי הנגזרת של שיפוע יקבע על פי המשיק הקצר ביותר (= ישר גבולי) שניתן להעביר כיוון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויקת.

דוגמא

הגדרות

קובץ:גרף של הפונקציה הנתונה בדוגמא

כיתוב תמונה

הפונקציה : $y=X^{2}$
A - נקודת ההשקה : (a,b). נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא (1,1). B - נקודה שנייה : (X,y) - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפנקציה (פרט מנקודת ההשקה). השאיפה שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדוייק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה) הנקודה היא (x,x²)
השיפוע : $y={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

מציאת הנגזרת

• מימן או משמאל? - נזכיר כי הנקודה B יכולה להיות מימן ל-A או משמאלה.
  • אם הנקודה B מימן ל-A ערכי X שלה גדולים מ-1 (מערך X_A).
  • אם הנקודה B משמאל ל-A ערכי ה-X שלה קטנים מ-1 (מערך X_A).
• נזכיר : ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדוייק יותר.

X מימן :

0.9	0.8	0.7	X
1.9	1.8	1.7	$m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).

X משמאל :

1.1	1.2	1.3	X
2.1	2.2	2.3	$m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך X של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדוייק (2).

ככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק

גבול (lim)

התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך X של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!
חישוב המתבצע באמצעות lim מקצר את כל הדרך.

החישוב מתבצע כך : $limM$ ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע).

דוגמא

נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות lim. על פי הנתונים :$lim{\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

טענו כי אנו שואפים שהנקודה השנייה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ-X_A (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי X_B שואף להיות X_A (הנקודה הכי, הכי קרובה ל-X_A - רוצה להיות שווה X_A). נרשום זאת כך : $lim_{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

מעתה, אנו מתייחסים אל X_B כשווה ל-X_A.

נפרק את הגבול לגורמים ונקבל : $lim_{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=x+1$

כיוון שטענו כי Xa=Xb, נציב את X_A=1 בגבול. $lim_{x\to 1}(x+1)=1+1=2$.

מכאן, ששיפוע הפונקציה $f(x)=x^{2}$ הוא 2. בדיוק אותה מסקנה שגילנו בדרך הטבלאות.

פונקציה גזירה

את נוסחא הגבול פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה-lim. לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה רשימת נגזרות והוכחתן.