מתמטיקה תיכונית/הסתברות/חישוב פונקציית ההסתברות עבור מאורעות מורכבים

ההסתברות של ${\bar {A}}$

המאורע המשלים ל-A צבוע בירוק

נחשב:

$P({\bar {A}})=$

על פי הגדרת ההסתברות:

${\frac {|{\bar {A}}|}{|\Omega |}}=$

מכיוון ש: $|{\bar {A}}|-|\Omega |-|A|$ :

${\frac {|\Omega |-|A|}{|\Omega |}}=$

נפצל את השבר:

${\frac {|\Omega |}{|\Omega |}}-{\frac {|A|}{|\Omega |}}=$

כל מספר חלקי עצמו שווה ל-1:

$1-{\frac {|A|}{|\Omega |}}=$

שוב על פי הגדרת ההסתברות:

$1-P(A)$

לסיכום:

$P({\bar {A}})=1-P(A)$

ההסתברות של $A\cup B$

האיחוד של A ו- B הוא כל מה שב-A ו/או ב-B

החיתוך הוא החלק המשותף ל-A וגם ל-B.

עלינו לחשב את $|A\cup B|$ כדי לחשב את $P(A\cup B)$. באיורים ניתן לראות ש$A\cup B$ מכיל את התוצאות שהן רק של A, את התוצאות שהן רק של B ואת התוצאות המשותפות. אם נביט באיור התחתון נראה שהתוצאות המשותפות הן בעצם $A\cap B$. (החיתוך הוא החלק המשותף). לכן $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

מספר התוצאות באיחוד ($|A\cup B|$) שווה למספר התוצאות ב-A ועוד מספר התוצאות ב-B פחות מספר התוצאות בחיתוך ($|A\cap B|$) מכיוון שאת החיתוך אנחנו סופרים פעמיים.

נבדוק את זה באמצעות דוגמה:

מאורע A הוא {1,2,3,4}, |A| הוא 4.

מאורע B הוא {3,4,5}, |B| הוא 3.

$A\cap B$ הוא {3,4}, $|A\cap B|$ הוא 2.

בדוגמה, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|=4+3-2=5$. ההגיון ברור - אנחנו סופרים פעמיים את החיתוך {3,4} פעם אחת ב-A ופעם אחת ב-B. למרות שבאיחוד, התוצאות {3,4} מופיעות פעם אחת בלבד. לכן צריך לחסר אותו מסכום הגדלים של שני המאורעות.

את ההסתברות עצמה, לאחר שמצאנו את גודל המאורע נחשב בדיוק כמו בסעיף הקודם.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

ההסתברות של $A-B$

$A-B$ הוא כל מה שב-A ולא ב-B.

החיתוך הוא החלק המשותף ל-A וגם ל-B.

$P(A-B)=P(A)-P(A\cap B)$