חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
סדרה מתכנסת היא חסומה, וסדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת
מאין תקציר עריכה
(סדרה מתכנסת היא חסומה, וסדרה מונוטונית וחסומה מתכנסת)
גם המשפט הזה עלול להראות לא ברור, אך הוא משפט חשוב ביותר - ולמעשה גם פשוט ביותר. המשפט הזה בעצם אומר שאם סדרה מסויימת מתכנסת לגבול מסויים, וסדרה אחרת זהה לסדרה הראשונה החל ממקום מסויים - גם הסדרה השנייה מתכנסת לאותו גבול. או לחילופין - אם לוקחים סדרה מתכנסת, מוסיפים לה מספר סופי של איברים, מחסירים ממנה מספר סופי של איברים, ומשנים בה מספר סופי של איברים - זה לא ישפיע על הגבול שלה. הסיבה שהמשפט הזה נכון היא פשוטה - בהתכנסות של סדרה אנחנו לא מסתכלים על האיברים הראשונים בסדרה, למעשה אנחנו לא מסתכלים על אף איבר בסדרה שניתן להצמיד לו מספר - אנחנו מסתכלים מה קורה לאברי הסדרה כשאנחנו מתקדמים לעבר האינסוף, ולכן שינוי שנעשה גם באיבר המליון, המליארד או ה[[w:גוגול|גוגול]] הוא זניח, ולא משפיע על הגבול. עם זאת יש לשים לב שמספר האיברים שאנו משנים בסדרה חייב להיות סופי, אפשר להסיר את 17 האיברים הראשונים, להחליף את האיבר ה42 ב-33 ולהוסיף במקום המליון ואחד את המספר <math>\pi</math> - והגבול של הסדרה לא ישתנה, אבל אם למשל נוסיף את המספר 2 אחרי כל איבר עשירי - הרי ששינינו אינסוף איברים, והמשפט כבר לא יכול לעזור לנו לחשב את הגבול של הסדרה החדשה.
 
{{משפט|תוכן=
אם סדרה מתכנסת אזי היא חסומה
 
{{הוכחה|
 
}}}}
 
{{משפט|תוכן=
אם סדרה היא מונוטונית וחסומה אזי הסדרה מתכנסת
 
{{הוכחה|
 
}}}}
{{חשבון אינפיניטסימלי/גבולות|מוגבל}}
161

עריכות

תפריט ניווט