חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
מאין תקציר עריכה |
אין תקציר עריכה |
||
שורה 22: | שורה 22: | ||
נראה כי הגבול שלה הוא <math> -1</math>. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר <math>\ N = \frac{1}{\varepsilon}</math> ואז יתקיים - |
נראה כי הגבול שלה הוא <math> -1</math>. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר <math>\ N = \frac{1}{\varepsilon}</math> ואז יתקיים - |
||
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| \frac{-n}{n+1} + 1 \right| = \left| \frac{ -n + n + 1}{n+1} \right| = \left| \frac{1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon </math></center> |
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| \frac{-n}{n+1} + 1 \right| = \left| \frac{ -n + n + 1}{n+1} \right| = \left| \frac{1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon </math></center> |
||
לכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = -1</math>. כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה <math>\ bn = \left| a_n \right|</math> כלומר <math>\ b_n = \frac{n}{n+1}</math> כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי <math>\lim_{n \to \infty}b_n = 1</math>. |
|||
{{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד |
{{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד |
||
{{הוכחה| |
|||
⚫ | |||
}}}} |
|||
⚫ | |||
{{הוכחה| |
|||
}}}} |
|||
{{חשבון אינפיניטסימלי/גבולות|מוגבל}} |
{{חשבון אינפיניטסימלי/גבולות|מוגבל}} |
גרסה מ־21:31, 24 בינואר 2008
לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -
משפט: אם קיים כך שלכל טבעי מתקיים אזי הוכחה: לכל קיים שעבורו מתקיים - ולכן
|
למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה , המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל -
מתקיים -
משפט: אם אזי הוכחה: על פי אי שוויון המשולש השני - נתון כי לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים - . אזי לכל נבחר את אותו ה-, ואז - ולכן
|
אם נסתכל למשל על הסדרה - -
נראה כי הגבול שלה הוא . לכל נבחר ואז יתקיים -
לכן . כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה כלומר כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי .
משפט: סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד
|
משפט: יהיו שתי סדרות. אם וקיימים שני מספרים שלמים כך שלכל מתקיים אזי גם
|
- | משפטים בסיסיים | - |