חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
Costello (שיחה | תרומות)
מאין תקציר עריכה
Costello (שיחה | תרומות)
אין תקציר עריכה
שורה 22: שורה 22:
נראה כי הגבול שלה הוא <math> -1</math>. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר <math>\ N = \frac{1}{\varepsilon}</math> ואז יתקיים -
נראה כי הגבול שלה הוא <math> -1</math>. לכל <math>\ \varepsilon > 0</math> נבחר <math>\ N = \frac{1}{\varepsilon}</math> ואז יתקיים -
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| \frac{-n}{n+1} + 1 \right| = \left| \frac{ -n + n + 1}{n+1} \right| = \left| \frac{1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon </math></center>
<center><math>\ \left| a_n - L \right| = \left| \frac{-n}{n+1} + 1 \right| = \left| \frac{ -n + n + 1}{n+1} \right| = \left| \frac{1}{n+1} \right| = \frac{1}{n+1} < \frac{1}{n} < \varepsilon </math></center>
לכן <math>\lim_{n \to \infty}a_n = -1</math>. כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה <math>\ bn = \left| a_n \right|</math> כלומר <math>\ b_n = \frac{n}{n+1}</math> כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי <math>\lim_{n \to \infty}b_n = 1</math>.


{{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד}}
{{משפט|תוכן=סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד


{{הוכחה|
{{משפט|תוכן=יהיו <math>\ a_n , b_n</math> שתי סדרות. אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> וקיימים שני מספרים שלמים <math>\ n_0, p</math> כך שלכל <math>\ n > n_0</math> מתקיים <math>\ b_n = a_{n+p}</math> אזי גם <math>\lim_{n \to \infty}b_n = L</math>}}

}}}}

{{משפט|תוכן=יהיו <math>\ a_n , b_n</math> שתי סדרות. אם <math>\lim_{n \to \infty}a_n = L</math> וקיימים שני מספרים שלמים <math>\ n_0, p</math> כך שלכל <math>\ n > n_0</math> מתקיים <math>\ b_n = a_{n+p}</math> אזי גם <math>\lim_{n \to \infty}b_n = L</math>

{{הוכחה|

}}}}


{{חשבון אינפיניטסימלי/גבולות|מוגבל}}
{{חשבון אינפיניטסימלי/גבולות|מוגבל}}

גרסה מ־21:31, 24 בינואר 2008

חשבון אינפיניטסימלי










לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -


משפט:

אם קיים כך שלכל טבעי מתקיים אזי

הוכחה: לכל קיים שעבורו מתקיים -

ולכן


למעשה כבר ראינו דוגמא למשפט הזה בעמוד הקודם, עבור הסדרה שבה , המשפט תקף גם לכל מספר אחר, למשל -

מתקיים -



משפט:

אם אזי

הוכחה: על פי אי שוויון המשולש השני -

נתון כי לכן לכל קיים כך שלכל מתקיים - . אזי לכל נבחר את אותו ה-, ואז -

ולכן


אם נסתכל למשל על הסדרה - -

נראה כי הגבול שלה הוא . לכל נבחר ואז יתקיים -

לכן . כעת אם נרצה לדעת מה הגבול של הסדרה כלומר כל מה שצריך הוא להשתמש במשפט כדי לדעת כי .



משפט:

סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד


הוכחה:





משפט:

יהיו שתי סדרות. אם וקיימים שני מספרים שלמים כך שלכל מתקיים אזי גם


הוכחה:




- משפטים בסיסיים -