חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/משפטים בסיסיים

חשבון אינפיניטסימלי

לאחר שהכרנו את מושג הגבול ואת הגדרת הגבול נעבור למספר משפטים שיציגו תכונות שונות של גבולות ושל סדרות מתכנסות -

משפט: אם קיים $\ l\in R$ כך שלכל $\ n$ טבעי מתקיים $\ a_{n}=l$ אזי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$

הוכחה: לכל $\ \varepsilon >0$ קיים $\ N=0$ שעבורו מתקיים -

$\ \left|a_{n}-L\right|=\left|l-l\right|=0<\varepsilon$

ולכן $\lim _{n\to \infty }a_{n}=l$

משפט: אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ אזי $\lim _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|=\left|L\right|$

הוכחה: על פי אי שוויון המשולש השני -

$\ \left|\left|a_{n}\right|-\left|L\right|\right|<=\left|a_{n}-L\right|>$

נתון כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ לכן לכל $\ \varepsilon >0$ קיים $\ N$ כך שלכל $\ n>N$ מתקיים - $\ \left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$. אזי לכל $\ \varepsilon >0$ נבחר את אותו ה-$\ N$, ואז -

$\ \left|\left|a_{n}\right|-\left|L\right|\right|<=\left|a_{n}-L\right|<\varepsilon$

ולכן $\lim _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|=\left|L\right|$

משפט: סדרה מתכנסת מתכנסת לגבול יחיד

משפט: יהיו $\ a_{n},b_{n}$ שתי סדרות. אם $\lim _{n\to \infty }a_{n}=L$ וקיימים שני מספרים שלמים $\ n_{0},p$ כך שלכל $\ n>n_{0}$ מתקיים $\ b_{n}=a_{n+p}$ אזי גם $\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$

-

משפטים בסיסיים

-