מתמטיקה תיכונית/הסתברות/פעולות במאורעות

דיאגרמת ון

דיאגרמת ון היא דרך להציג מאורעות וקשרים ביניהם בצורה ויזואלית. הדיאגרמה היא מלבן, שבפינתו רשומה $\Omega$ - לציין שהמלבן מייצג את מרחב המדגם, את כל התוצאות האפשריות.

בתוך המלבן ניתן לצייר מאורעות. מאורע מציירים כעיגול בתוך המלבן, ובתוכו רשומה האות שמייצגת את המאורע. מיד נלמד על קשרים בין מאורעות ועל פעולות שניתן לבצע על מאורעות, וכל אלו נייצג באמצעות דיאגרמת ון.

המאורע המשלים

המאורע המשלים ל-A צבוע בירוק

המאורע המשלים מכיל את כל התוצאות במרחב המדגם שאינן חלק מהמאורע.

דוגמה: למשל, בזריקת קוביה, מרחב המדגם הוא $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$. נגדיר מאורע: $A=\{1,2\}$. המאורע המשלים ל-A יסומן כ-${\bar {A}}$ (A עם קו מעליו). מאורע זה מכיל את כל התוצאות ממרחב המדגם שאינן ב-A. ${\bar {A}}=\{3,4,5,6\}$

דוגמה:

ניקח מחפיסת קלפים, את 13 הקלפים מסדרת לב ונטרוף את 13 הקלפים היטב. מבצעים ניסוי מקרי - בוחרים קלף אחד מתוך 13 קלפי הלב.

א. מצא את מרחב המדגם!

ב. נתון שמאורע A הוא בחירה של נסיך, מלכה או מלך לב. מצא את המאורע המשלים ל-A!

פתרון:

א. מכיוון שאנו בוחרים קלף אחד מתוך 13 קלפי הלב, מרחב המדגם הוא כל הקלפים מסוג לב:

$\Omega =\{2\heartsuit ,3\heartsuit ,4\heartsuit ,5\heartsuit ,6\heartsuit ,7\heartsuit ,8\heartsuit ,9\heartsuit ,10\heartsuit ,J\heartsuit ,Q\heartsuit ,K\heartsuit ,A\heartsuit \}$

ב. המאורע A הוא בחירת נסיך מלכה או מלך לב:

$A=\{J\heartsuit ,Q\heartsuit ,K\heartsuit \}$

המאורע המשלים ל-A הוא כל הקלפים ממרחב המדגם שאינם נסיך מלכה או מלך לב:

${\bar {A}}=\{2\heartsuit ,3\heartsuit ,4\heartsuit ,5\heartsuit ,6\heartsuit ,7\heartsuit ,8\heartsuit ,9\heartsuit ,10\heartsuit ,A\heartsuit \}$

מאורע חלקי

המאורע B חלקי ל-A, $B\subseteq A$.

המאורע C אינו חלקי ל-A, $C\not \subseteq A$.

כאשר אנו אומרים שמאורע B חלקי למאורע A, אנו מתכוונים שכל התוצאות במאורע B, נמצאות גם במאורע A.

למשל: אם בזריקת קוביה מוגדר מאורע $A=\{2,4,6\}$ ומאורע $B=\{2,4\}$ - נאמר שהמאורע B חלקי למאורע A. (התוצאות 2 ו- 4 של המאורע B, נמצאות גם במאורע A).

נסמן זאת כך: $B\subseteq A$ (B חלקי ל-A).

אם ב-B יש איברים (תוצאות) שאינם חלק מ-A אזי B אינו חלקי ל-A.

נסמן זאת כך: $B\not \subseteq A$ (B אינו חלקי ל-A).

דוגמה:

נתונה רולטה, ובה 51 מספרים, מ-0 עד 50. ניסוי מקרי הוא סיבוב הרולטה. כאשר הרולטה נעצרת מספר נבחר. לכל המספרים סיכוי שווה להיבחר. נתון מאורע $A=\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,43,47$ מצא אלו מהמאורעות הבאים חלקי ל-A.

$B=\{7,17,37,47\}$

$C=\{2,4,6,8,10\}$

$D=\{0,1,2,3,5,7,11,13,17,19,23,31,37,43,47\}$

$E=\{1,3,5,7,11,13,17,19,23\}$

$F=\{43,19,13,47,2,3\}$

תשובות

$B\subseteq A$ מכיוון שכל אברי B נמצאים גם ב-A.

$C\not \subseteq A$ מכיוון ש4 ו- 6 למשל, הם חלק מ-C אבל לא מ-A

$D\not \subseteq A$ מכיוון 0 ו- 1 נמצאים ב-D ולא ב-A. מאידך גיסא, $A\subseteq D$ מכיוון שכל אברי A נמצאים ב-D.

$E\not \subseteq A$ מכיוון ש-1 נמצא ב-E ולא ב-A.

$F\subseteq A$ מכיוון שכל אברי F נמצאים גם ב-A.