חשבון/כפל

הפעולה השלישית שנלמד עליה היא כפל. כפל, פעולה המבוצעת אף היא על שני מספרים, היא מעין חיבור מקוצר: מחברים מספר מסוים לעצמו, מספר מסוים של פעמים. המספר הראשון מציין את המספר שמחברים לעצמו, והמספר השני מציין את מספר הפעמים של החיבור (או להיפך). הסימון שנשתמש בו לציון פעולה זו הוא $\ \times$, אך ניתן להשתמש גם בסימנים * או $\cdot$.

דוגמה לכפל: $\ 5\times 3=5+5+5=15$.

בכפל, שני המספרים שמחברים נקראים הגורמים, והתוצאה נקראת המכפלה של המספרים.

המשמעות של פעולת הכפל

את פעולת הכפל ניתן להגדיר גם כ"פעמים" (כל עוד עוסקים במספרים השלמים). לדוגמה: 3 פעמים 5 פירושו 3 כפול 5. ניתן להשתמש בה, למשל, כדי לציין חפצים שמופיעים מספר מסוים של פעמים - אם חפץ מסוים מופיע במקום מסוים מספר מסוים של פעמים, ואותו המקום קיים מספר אחר של פעמים, ניתן להכפיל את שני המספרים כדי לגלות כמה פעמים מופיע אותו חפץ. לדוגמה, אם ישנה רכבת בה נוסעים 5 אנשים בכל קרון, וקיימים 3 קרונות, אז ניתן לחשב את המספר הכולל של האנשים ברכבת באמצעות תרגיל כפל: $\ 5\times 3=15$.

כפל מספרים עד 10

לביצוע כפל שבו המספרים המוכפלים הם לכל היותר 10, מקובל השימוש בלוח הכפל, שאותו מומלץ גם כן לזכור בעל-פה:

X	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

להלן עקרונות המתקיימים בכפל, כפי שניתן לראות בטבלה לעיל:

• חוק החילוף מתקיים גם בכפל: אין זה משנה באיזה סדר מבצעים את ההכפלה.
• כשמכפילים 0 במספר כלשהו, התוצאה היא 0.
• כשמכפילים 1 במספר כלשהו, התוצאה היא המספר עצמו.
• כשמכפילים 10 במספר כלשהו, התוצאה היא המספר כשמוסיפים 0 מימינו.

תרגילי שרשרת

גם בכפל יכולים להיות תרגילי שרשרת. בהקשר זה יש להבהיר רק שחוק הקיבוץ מתקיים בכפל, בניגוד לחיסור ובדומה לחיבור, ולכן ניתן לבצע את ההכפלה באיזה סדר שרוצים.

כפל מספר בעל מספר ספרות במספר חד-ספרתי

כדי להכפיל מספר בעל מספר ספרות במספר חד-ספרתי, יש להכפיל את המספר החד-ספרתי בכל ספרה של המספר. ברוב המקרים, התוצאה שתצא תהיה דו-ספרתית, ובמקרים כאלה יש להוסיפה לספרה הבאה, כמו בחיבור.

שימו לב: את הספרה המועברת יש להוסיף לספרה הבאה לאחר הכפל, ולא להכפיל בה. חשוב לזכור זאת למרות שהסימון של הספרות הנזכרות יכול להיות דומה לזה שבחיבור.

גם כפל במאונך אפשרי, והוא השיטה הנוחה יותר לביצוע פעולות כאלה:

 22
 367
x
   3
 ---
1101

כפל שני מספרים בעלי מספר ספרות

הצעד הבא הוא הכפלת שני מספרים בעלי יותר משני ספרות. כדי לבצע זאת, יש להכפיל כל ספרה במספר הראשון בכל ספרה במספר השני, בנפרד, ולחבר את שתי התוצאות. חשוב לציין שהתוצאות של המספר השני צריכות להיות מוסחות שמאלה ספרה אחת, אלה של המספר השלישי - שתי ספרות, וכיוצא בזה. דוגמה תבהיר את העניין:

  723
x
   25
  ---
 3615
1446
-----
18075

כפל מספר ב-10

מקרה מיוחד הוא הכפלת מספר כלשהו ב-10. במקרה זה כל שיש לעשות הוא להוסיף ספרת 0 למספר מצד ימין.

מקרים דומים לכך הם כפל ב-100, ב-1000 וכדומה; במקרים אלה יש להוסיף אפסים למספר השני כמספר האפסים שבמספר הראשון. לדוגמה, $\ 5*1000=5000$.

מקרה נוסף שיכול להקל על ההכפלה הוא מקרה שבו המספרים (אחד מהם או שניהם) כוללים מספר אפסים (או אפס אחד) בצדם הימני. במקרה זה ניתן להתעלם מהאפסים בעת הכפל, ואז להוסיף את האפסים לתוצאה מצדה הימני. למעשה, המקרים שנמנו לעיל הם מקרה פרטי של אפשרות זו, כשמבוצע כפל ב-1 בלבד. לדוגמה:

  7230
x
    200
  ---
 1446000

בעיות מילוליות

דוגמה לבעיה מילולית בכפל:

בבניין מסוים גרים 4 אנשים בכל דירה. קיימות בבניין 20 דירות. כמה אנשים בבניין?

והתוצאה: $\ 4\times 20=80$.

נושאים נוספים

1. כפל באמצעות האצבעות
2. חוקיות לוח הכפל
3. המחזוריות של לוח הכפל

הפרק הקודם: חיסור

כפל תרגילים

הפרק הבא: חילוק