מטריצות ותכונותיהן: הבדלים בין גרסאות בדף

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
תוכן שנמחק תוכן שנוסף
אין תקציר עריכה
שורה 1: שורה 1:
{{לאחד|אלגברה לינארית}}
{{לאחד|אלגברה לינארית}}
==הגדרת המטריצה ומושגים בסיסיים==
{{הגדרה|מספר=1|שם=מטריצה|תוכן=
מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר <math>m\times n</math> נהוג לסמן <math>M_{m\times n}(\mathbb{F})</math>. }}


== המטריצה המשוחלפת ==

==כפל מטריצות ותכונותיו==

==מטריצה ריבועית==


==מטריצה הפיכה ותכונותיה==
==מטריצה הפיכה ותכונותיה==

גרסה מ־14:19, 9 בינואר 2022



מטריצה הפיכה ותכונותיה

הגדרה 9: מטריצה הפיכה

מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן .



משפט 6: משפטי הפיכות 1

  • אם מטריצה הפיכה ומתקיים , או , בהכרח .
  • אם מטריצה הפיכה ומתקיים או אז .
  • אם מטריצה הפיכה, אז מתקיים .
  • מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה הפיכה ומתקיים .
  • אם מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים .
  • אם מטריצה הפיכה, ו סקלר, גם הפיכה ומתקיים .


הוכחה:

  • , ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
  • ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
  • נובע ישירות מהשוויון, מתקיים .
  • ולכן , בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין.
  • , וגם .
  • , וגם .





מטריצה אלמנטרית

הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית

מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב.


טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים



משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים

הוכחה: נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.


טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות

עוד על מטריצה הפיכה

משפט 8: משפטי הפיכות 2

כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :

  • למשוואה קיים רק הפתרון הטריוויאלי
  • לכל וקטור עמודה קיים פתרון למשוואה .
  • לכל וקטור עמודה קיים פתרון יחיד למשוואה .



הוכחה:

  • .
  • לכל וקטור , מתקיים ש הוא פתרון של המשוואה , כיוון שמתקיים .
  • נניח כי מטריצה הפיכה, יהיה וקטור עמודה, אם הוא פתרון של המשוואה, אז , ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב ונקבל , לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.