מטריצה היא מערך דו מימדי, שרכיביו הם סקלרים מהשדה המדובר,את אוסף המטריצות מסדר <math>m\times n</math> נהוג לסמן <math>M_{m\times n}(\mathbb{F})</math>. }}
דף זה דן בנושא של הדף אלגברה לינארית וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן כנראה שיש לאחד את שני הדפים. (דיון)
מטריצה הפיכה ותכונותיה
הגדרה 9: מטריצה הפיכה
מטריצה תיקרא מטריצה הפיכה אם ורק אם קיימת מטריצה כך שמתקיים , מטריצה הפיכה תיקרא מטריצה רגולרית, ומטריצה לא הפיכה תיקרא מטריצה סינגולרית, את המטריצה ההופכית של נסמן .
משפט 6: משפטי הפיכות 1
אם מטריצה הפיכה ומתקיים , או , בהכרח .
אם מטריצה הפיכה ומתקיים או אז .
אם מטריצה הפיכה, אז מתקיים .
מטריצה הפיכה אם ורק אם המטריצה הפיכה ומתקיים .
אם מטריצות הפיכות מאותו הסדר, מתקיים .
אם מטריצה הפיכה, ו סקלר, גם הפיכה ומתקיים .
הוכחה:
, ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
ההוכחה במקרה השני זהה לחלוטין.
נובע ישירות מהשוויון, מתקיים .
ולכן , בכיוון השני ההוכחה זהה לחלוטין.
, וגם .
, וגם .
מטריצה אלמנטרית
הגדרה 10: מטריצה אלמנטרית
מטריצה תיקרא מטריצה אלמנטרית אם היא התקבלה ממטריצת היחידה על ידי פעולה אלמנטרית, נהוג לסמן את המטריצה אשר התקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , ב.
טענה 1: תהי המטריצה האלמנטרית שהתקבלה ממטריצת היחידה על ידי הפעולה האלמנטרית , אזי מתקיים
משפט 7: כל מטריצה אלמנטרית הפיכה, ומתקיים
הוכחה:
נבצע על המטריצה את הפעולה ההפוכה, ונקבל את מטריצת היחידה.
טענה 2: כל מטריצה הפיכה היא מכפלת מטריצות אלמנטריות
עוד על מטריצה הפיכה
משפט 8: משפטי הפיכות 2
כל אחד מהתנאים הבאים הוא תנאי הכרחי ומספיק להפיכות המטריצה :
למשוואה קיים רק הפתרון הטריוויאלי
לכל וקטור עמודה קיים פתרון למשוואה .
לכל וקטור עמודה קיים פתרון יחיד למשוואה .
הוכחה:
.
לכל וקטור , מתקיים ש הוא פתרון של המשוואה , כיוון שמתקיים .
נניח כי מטריצה הפיכה, יהיה וקטור עמודה, אם הוא פתרון של המשוואה, אז , ולכן נוכל לכפול את שני האגפים ב ונקבל , לכן אם קיים פתרון הוא בהכרח שווה ל,ולכן אם קיים פתרון הוא יחיד.