מטריצות ותכונותיהן: הבדלים בין גרסאות בדף

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
הוסרו 3,141 בתים ,  לפני 5 חודשים
(←‏המטריצה המשוחלפת: איחוד אל אלגברה לינארית/שחלוף מטריצה)
 
==כפל מטריצות ותכונותיו==
{{הגדרה|מספר=6|שם=כפל מטריצות|תוכן=
כפל מטריצות בין מטריצה <math>A</math> ,מטריצה <math>B</math> מסומן כ<math>AB</math> אם כופלים מצד ימין, או לחלופין <math>BA</math> אם כופלים מצד שמאל, הכפל <math>AB</math> מוגדר רק כאשר אם <math>A</math> מסדר <math>m\times n</math>, אז <math>B</math> מסדר <math>n\times z</math>, כלומר הדרישה היא שמספר העמודות במטריצה הימנית יהיה שווה למספר השורות במטריצה השמאלית.
 
כאשר הכפל <math>AB</math> מוגדר, כלומר כאשר <math>A \in M_{m,n}(\mathbb{F}),B \in M_{n,z}(\mathbb{F})</math>, האיבר במקום ה<math>(i,j)</math> במטריצה <math>AB</math>, יהיה מוגדר כ<big><math>\sum _{l=1}^m\ a_{il}b_{lj}</math></big>, כלומר נרוץ על סכימת הכפל של כל זוג איברים.
 
 
'''דוגמא:''' <math>A=\begin{pmatrix}1&2\\ 3&4\end{pmatrix},B=\begin{pmatrix}5&4\\ 3&2\end{pmatrix}</math> אזי מתקיים <math>AB=\begin{pmatrix}5+6&4+4\\ 15+12&12+8\end{pmatrix}\ =\ \begin{pmatrix}11&8\\ 27&20\end{pmatrix}</math>.}}
 
{{משפט|מספר=1|שם=אסוציאטיביות כפל מטריצות, אם המכפלה <math>ABC</math> מוגדרת אז מתקיים <math>A(BC)=(AB)C</math>|תוכן=
 
{{הוכחה|
<big><math>\left[\left(AB\right)C\right]_{ij} = \sum _{k=1}^p\ \left[AB\right]_{ik}c_{kj}=\sum _{k=1}^p\left(\sum _{l=1}^na_{il}b_{lk}\ \right)c_{kj}=\sum _{k=1}^p\left(\sum _{l=1}^na_{il}b_{lk}c_{kj}\ \right)=\sum _{l=1}^na_{il}\left(\sum _{k=1}^pb_{lk}c_{kj}\ \right)=\ \sum _{l=1}^na_{il}\left[BC\right]_{lj}=\left[A\left(BC\right)\right]_{ij}</math></big>}}}}
 
{{משפט|מספר=2|שם=אם המכפלה <math>AB</math> מוגדרת, אז מתקיים <math>(AB)^{T}=B^{T}A^{T}</math>|תוכן=
{{הוכחה|
 
<big><math>\left[\left(AB\right)^T\right]_{ij}=\left[AB\right]_{ji}=\sum _{l=1}^n\ a_{jl}b_{li}=\sum \ _{l=1}^n\ b_{li}a_{jl}=\sum _{i=1}^n\ \left[B^T\right]_{il}\left[A^T\right]_{lj}= \left[B^TA^T\right]_{ij}</math></big>}}}}
 
{{משפט|מספר=3|שם=פילוגיות כפל מטריצות משמאל מעל חיבור, אם המטריצות <math>AB,AC</math> מוגדרות, אזי מתקיים <math>A(B+C)=AB+AC</math>|תוכן=
 
{{הוכחה|
<big><math>\left[A\left(B+C\right)\right]_{ij}=\sum _{l=1}^m\ a_{il}\left(b_{lk}+c_{lk}\right)=\sum _{l=1}^m\ \ a_{il}b_{lk}+a_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^m\ \ a_{il}b_{lk}+\sum _{l=1}^m\ \ a_{il}c_{lk}=\left[AB\right]_{ij}+\left[AC\right]_{ij}=\left[AB+AC\right]_{ij}</math></big>}}}}
 
{{משפט|מספר=4|שם=פילוגיות כפל מטריצות מימין מעל חיבור, אם המטריצות <math>AC,BC</math> מוגדרות, אזי מתקיים <math>(A+B)C=AC+BC</math>|תוכן=
 
{{הוכחה| <big><math>\left[\left(A+B\right)C\right]_{ij}=\sum _{l=1}^m\left(a_{il+b_{il}}\right)c_{lj}=\sum _{l=1}^m\ a_{il}c_{lj}+b_{il}c_{lk}=\sum _{l=1}^m\ a_{il}c_{lj}+\sum _{l=1}^m\ b_{il}c_{lj}=\left[AC\right]_{ij}+\left[BC\right]_{ij}=\left[AC+BC\right]_{ij}</math></big>}}}}
 
 
==מטריצה ריבועית==

תפריט ניווט