אלגברה לינארית/מטריצה

מטריצה

הגדרה 1: מטריצה של מערכת משוואות לינאריות ב־$n$ נעלמים נתונה מערכת המשוואות ${\begin{cases}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$ כאשר מסמנים $A={\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}},b={\begin{bmatrix}b_{1}\\\vdots \\b_{m}\end{bmatrix}},x={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$ אזי $A$ נקראת המטריצה של מערכת המשוואות.

הגדרה 1: מטריצה מורחבת של מערכת משוואות לינאריות ב־$n$ נעלמים נתונה מערכת המשוואות ${\begin{cases}a_{11}x_{1}+\cdots +a_{1n}x_{n}=b_{1}\\\vdots \\a_{m1}x_{1}+\cdots +a_{mn}x_{n}=b_{m}\end{cases}}$ $A=\left[{\begin{array}{cccc|c}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}&b_{1}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}&b_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}&b_{m}\end{array}}\right]$ נקראת המטריצה המורחבת של מערכת המשוואות, ו־$b$ הם ערך הפתרון של המשוואה הלינארית.

דוגמה 1: מטריצה מורחבת נתונה מערכת המשוואות הבאה: $2x_{1}+x_{2}=10$ $x_{1}-x_{2}=5$ אזי המטריצה ${\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}}$ המטריצה המורחבת הנה $\left[{\begin{array}{rr|r}2&1&10\\1&-1&5\end{array}}\right]$

טענה 1: כל וקטור ניתן לרשום כמטריצה ניתן לרשום את הווקטור $(x_{1},\ldots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}$ כמטריצה מהצורה ${\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}$

גודלה של מטריצה

גודלה של מטריצה תלוי במספר השורות והעמודות. לדוגמא, המטריצה ${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}$ היא מטריצה בגודל $2\times 2$ מעל שדה הממשיים.

נהוג לסמן מטריצה באחת מאותיות האנגלית, לדוגמא, $A$ ולאחריה לציין את גודלה מגודל $m\times n$ (כאשר $m$ מספר השורות ו־$n$ מספר העמודות) וסוג השדה ($\mathbb {F}$) מעליו היא נמצאת באחת משתי הצורות הבאות:

1. $A\in \mathbb {F} ^{m\times n}$
2. $A\in M_{m\times n}(\mathbb {F} )$

אברי השורה והעמודה

הגדרה 2: סימון רכיבי המטריצה את האיבר במקום ה$(i,j)$ של המטריצה, נסמן כ$a_{ij}$. דוגמא: במטריצה ${\begin{pmatrix}2&7\\5&4\end{pmatrix}}$, את האיבר 2 נסמן כ$a_{1,1}$, את האיבר 7 נסמן כ$a_{1,2}$, את האיבר 5 נסמן כ$a_{2,1}$, ואת האיבר 7 נסמן כ$a_{2,2}$.

מקובל לסמן את האבר בשורה באמצעות האינדקס $i$ , והעמודה ב־$j$ .

כאשר אנו רוצים לדון על אבר ספציפי במטריצה, נסמנו $a_{ij}$ .

דוגמאות

$a_{11}$ הוא אבר בשורה הראשונה והעמודה הראשונה ועבור המטריצה ${\begin{bmatrix}10&2\\3&4\end{bmatrix}}$ הוא הסקר $10$ .